Funksiyaning limiti va uning xossalari Reja: Limitlar haqida asosiy teoremalar Birinchi ajoyib limit

1-misol. ekanini ta’rifdan oydalanib isbotlang.
Bundan ko’rinib turibdiki, δ=3ε deb olsak, u holda |x-4|<δ tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha xЄ(3;5) uchun ushbu tengsizlik bajariladi:
Bundan 2 soni funksyaning
x=4 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.
Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
2-ta’rif. Agar y= f(x) х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan  >0 son uchun shunday N>0 mavjud bo’lsaki, |x|>N ni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun |f(x)-A|< bajarilsa, А son y=f(x) ning x dagi limiti deb ataladi.
Аgar А son y = f(x) ning x dagi limiti bo’lsa, bu quydagicha yoziladi:
geometik ma’nosi: agar istalgan >0 son uchun shunday N>0 mavjud bo’lsaki, |x|>N uchun funksiyaning qiymatlari (A - , A + ) intervalga tushadi (2-shakl).
Мisol. ekanini isbotlang.
funksiyani qaraylik.
Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
3-ta’rif. (a,b) da aniqlangan y=f(x) uchun shunday M>0 son mavjud bo’lsaki, barcha xЄ (a,b) lar uchun |f(x)|≤ M bajarilsa, u holda y=f(x) (a,b) da chegaralangan deb ataladi.
Agar bunday М son mavjud bo’lmasa, u holda y=f(x) bu (a,b) da chegaralanmagan deb ataladi.
4-misol. Y = sin(x) (-, +) da chegaralangan, chunki bu inervaldagi barcha x lar uchun |sin(x)|≤1, ya’ni M=1.
5-misol. y=1/x xЄ(0,1) da chegalanmagan , chunki |1/x|≤M bo’ladigan M>0 son mavjud emas.
Funksiyaning limiti bilan uning chegaralanganligi o’rtasidagi bog’lanishni belgilaydigan ushbu teorema o’rinli