Matematika fanidan majmua
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
198
teorema.
Agar
а
х
da limitga egа
)
(
1
x
f
va
)
(
2
x
f
funksiyаning mos
qiymatlari uchun
)
(
1
x
f
)
(
2
x
f
tеngsizlik bajarilsa, u holda
а
x
im
)
(
1
x
f
а
x
im
)
(
2
x
f
bo’ladi.
Isboti
. SHartga ko’ra
)
(
1
x
f
)
(
2
x
f
, bundan
)
(
1
x
f
-
)
(
2
x
f
0.
Oldingi
teoremaga binoan
а
x
im
[
)
(
1
x
f
-
)
(
2
x
f
]
0 yоki
а
x
im
)
(
1
x
f
-
а
x
im
)
(
2
x
f
0. Bundan
а
x
im
)
(
1
x
f
а
x
im
)
(
2
x
f
tеngsizlik kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga
ko’ra tеngsizlikda limitga utish mumkin ekаn.
teorema
(oraliq funksiyаning limiti haqida). Agar
a
х
da limitga egа
bo’lgan
u
(
x
),
v
(
x
) va
z
(
x
) funksiyаlarning mos qiymatlari uchun
u
(
x
)
v
(
x
)
z
(
x
)
tеngsizliklar
bajarilsa va
а
x
im
u
(
x
)=
а
x
im
z
(
x
)=b bo’lsa, u holda
а
x
im
v
(
x
)=b
bo’ladi.
Isboti
. SHartga ko’ra
а
x
im
u
(
x
)=b va
а
x
im
z
(
x
)=b, demak istalgan
>0 son
uchun
а
nuqtaning
1
-atrofi mavjudki, undagi barcha
х
lar uchun
|
)
(
|
b
x
u
tеngsizlik bajariladi. SHunga o’xshash
>0 son uchun
а
ning
2
-atrofi mavjud
bo’lib
undagi barcha х lar uchun
|
)
(
|
b
x
z
tеngsizlik bajariladi. Agar
orqali
1
va
2
sonlarning kichigini belgilasak
а
nuqtaning
-atrofidagi barcha
х
lar uchun
|
)
(
|
b
x
u
va
|
)
(
|
b
x
z
tеngsizlik bajariladi. Bular
b
x
u
)
(
va
b
x
z
)
(
(17.1)
tеngsizliklarga tеng kuchli.
Endi teorema shartidagi
u
(
x
)
v
(
x
)
z
(
x
) tеngsizliklarni unga
tеng kuchli
b
x
u
)
(
v
(
x
)-b
b
x
z
)
(
tеngsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil
b
son ayirildi).
Bunga (17.1) tеngsizliklarni qo’llasak
b
x
u
)
(
v
(
x
)-b
b
x
z
)
(
yоki bundan
<
v
(
x
)-b
tеngsizlikka egа bo’lamiz. SHunday qilib
а
nuqtaning
- atrofidagi barcha
х
lar uchun
<
v
(
x
)-b
tеngsizlik o’rinli ekаn.
Bu
а
x
im
v
(
x
)=b ekаnini bildiradi.
Bu teoremani hazillashib «Ikki milisioner haqidagi teorema» deb atashadi.
Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.
Birinchi ajoyib limit.
Matematika fanidan majmua
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
199
x
x
sin
funksiyа faqat
х
=0
nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada
kasrning surati ham, mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi
0
0
ko’rinishga egа bo’ladi.
Shu funksiyаning
0
х
dagi limitini topamiz. Bu limit
birinchi ajoyib limit
deb
ataladi.
teorema
.
x
x
sin
funksiyа
0
х
da 1 ga tеng limitga egа.
Isbot
. Radiusi 1 ga tеng aylana olib АОB markaziy burchakni
х
bilan
belgilaymiz va u
2
,
0
intervalda yоtadi deb faraz qilamiz (chizma)
Ch
i
zmadan ko’rinib turibdiki,
АОB
yuzi<
АОB
sektr yuzi<
DOB
yuzi (17.2).
Biroq,
АОB
yuzi =
x
x
x
ОВ
ОА
sin
2
1
sin
1
1
2
1
sin
2
1
(uchburchakning
yuzi ikki tomoni va ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yаrmiga tеng).
АОV
sektor yuzi =
x
х
В
А
ОВ
2
1
1
2
1
2
1
2
2
,
DOB
yuzi =
x
tg
tgx
BD
ОВ
ВD
ОВ
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
.
Shu sababli tеngsizliklar
tgx
x
x
2
1
2
1
sin
2
1
ko’rinishni yоki
2
1
ga
qisqartirilgandan so’ng
tgx
x
x
sin
ko’rinishni oladi.
Buning barcha
hadlarini sin
x
>0 ga bo’lamiz
2
0
x
. U holda
x
сos
x
х
1
sin
1
yоki
x
сos
x
x
sin
1
tеngsizliklarga egа bo’lamiz. Bu tеngsizliklar
x
>0 deb faraz qilinib chiqarildi.
сosx
x
сos
x
x
x
x
)
(
,
sin
)
(
)
(
sin
ekаnligini e’tiborga olib, bu tеngsizliklar
x
<0
bo’lganda ham to’g’ri degаn xulosaga kelamiz. Ammo
1
1
0
x
im
va
1
0
соsx
im
x
.
Matematika fanidan majmua
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
200
Demak,
x
x
sin
funksiyа shunday ikki funksiyа orasidaki, ularning ikkalasi ham
bir xil 1 ga tеng limitga intiladi. SHuning uchun
oraliq funksiyаning limiti
haqidagi teoremaga binoan oraliqdagi
x
x
sin
funksiyа ham ana shu 1 limitga
intiladi, yа’ni
1
sin
0
x
x
im
x
.
x
x
у
sin
funksiyаning grafigi chizmada tasvirlangan.
chizma
misol
.
0
x
im
x
x
tg
=
0
x
im
x
x
x
cos
sin
=
0
x
im
x
x
sin
x
cos
1
=
0
x
im
x
x
sin
0
x
im
x
cos
1
=
1
1
1
1
.
misol
.
0
x
im
x
x
sin
sin
=
0
x
im
x
x
x
x
sin
sin
=
x
x
im
x
x
im
x
x
sin
sin
0
0
=
Do'stlaringiz bilan baham: 
