Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet4/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

20. Funksiya differensiali va uning geometrik ma’nosi. f (x) funksiya xa,b nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin:
y Ax ox
bunda Af (x) bo’ladi. Bu tenglikda funksiya orttirmasi y ikki qo’shiluvchi: argument orttirmasi x ga nisbatan chiziqli Ax hamda x ga nisbatan yuqori tartibli x 0 cheksiz kichik miqdorlar yig’indisidan iborat ekani ko’rinadi.
4−ta’rif. f (x) funksiya orttirmasi y ning x ga nisbatan chiziqli bosh qismi Ax f x x berilgan f (x) funksiyaninng x nuqtadagi differensiali deb ataladi. Funksiyaning differensiali dy yoki df (x) kabi belgilanadi: dy df (x)  Ax f (x)x. Endi xa,b nuqtada differensiallanuvchi bo’lgan f (x) funksiyaninng grafigi 31-chizmada ko’rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
Bu chiziqning x, f (x), x  x, f x  x nuqtalarini mos ravishda F va B bilan belgilaylik. Unda FC  x, BC  y bo’ladi. f (x) funksiya xa,b nuqtada differensiallanuvchi yani x nuqtada chekli f (x) hosilaga ega. Demak , f (x) funksiya grafigiga uning Fx, f (x) nuqtasida o’tkazilgan FL urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tg f (x).
Shu FL urinmaning BC bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaylik.
DC
Ravshanki, FDC dan  tg va undan DC tg FC f (x)x ekani FC
kelib chiqadi.
Demak, f (x) funksiyani x nuqtadagi differensiali dy f (x)x funksiya grafigiga Fx, f (x) nuqtada o’tkazilgan urinma orttirmasi DC ni DC dy ifodalaydi. Xususan, f (x)  x bo’lganda bu funksiyaning differensiali
dy f (x)x  x bo’lib,
dy dx  x
bo’ladi. Bu hol f (x) funksiyaning x nuqtadagi differensialini quyidagi dy f (x)dx ydx (6.14) ko’rinishda ifodalash mumkin ekanini anglatadi.
Endi funksiya differensialining (6.14) ifodasidan foydalanib, elementar funksiyalarning differensiallari jadvalini keltiramiz:

  1. d(x)   x1dxx  0;

  2. d(ax)  ax lgadxa  0, a 1;

1

  1. d(loga x)  loga e dx; x

  2. d(sin x)  cos xdx;

  3. d(cos x)  sin xdx;

  4. d(tgx)  dx

cos12 x 2  k, k  0, 1,;
x  
1

  1. d(ctgx)   sin2 dxx k, k  0, 1, ; x

  2. d(arcsin x)  dx -1 x 1;

  3. d(arccos x)   dx 1 x 1;

  4. d(arctgx)  dx;

  5. d(arcctgx)   dx;

  6. d(shx)  chxdx;

  7. d(chx)  shxdx;

1

  1. d(thx)  ch2x dx;

1

  1. d(cthx)   sh2x dx.

30. Differensiallashning sodda qoidalari. Murakkab funksiyaning differensiali. f (x) va g(x) funksiyalar a,b intervalda aniqlangan bo’lib, xa,b nuqtada ularning differensiallari df (x), dg(x) f (x)
mavjud bo’lsin. U holda f (x)  g(x), f (x) g(x), va g(x)  0
g(x) funksiyalarning ham shu xa,b nuqtada differensiallari mavjud va ular uchun quyidagi df x gx df x dgx,
df (x)  g(x) f (x)dg(x)  g(x)df (x),

d gf ((xx))  g(x)df (xg)2(xf)(x)dg(x) , g(x)  0
formulalar o’rinli bo’ladi.
Bu tasdiqlarning isboti funksiya differensialining (6.14) ko’rinishda ifodalanishidan va funksiyaning hosilalarini topish qoidalaridan kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, u f (x) funksiya a,b intervalda, y F(u) funksiya esa
c,d intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida murakkab y F( f (x)) (x) funksiya tuzilgan bo’lsin.
Murakkab funksiyaning hosilasi uchun topilgan(6.5) formuladan foydalanib, shu murakkab funksiyaning differensialini topamiz:
d (x)  d(F( f (x)))  (F( f (x))dx F(u) f (x)dx F(u)du.
Shuni ta’kidlash lozimki, bu holda du miqdor argument u ning erkli orttirmasi emas, balki x o’zgaruvchining funksiyasidir.
40. Funksiya differensiyali va taqribiy formulalar. Nazariy va amaliy masalalarni yechishda tegishli formulalarning nuqtadagi qiymatlarini hisoblash zarurati tug’iladi. Ko’pincha bunday funksiyalar murakkab bo’lib, ularning nuqtadagi qiymatlarini topish ancha qiyin bo’ladi. Bu hol funksiyaning nuqtadagi qiymatini taqribiy hisoblash (ularni hisoblash uchun taqribiy formulalar topish) masalasini yuzaga keltiradi. Funksiyaning differen-siali esa taqribiy formulalarni topish imkonini beradi .
f (x) funksiya a,b intervalda aniqlangan bo’lib, x0 a,b nuqtada chekli f (x0 )  0 hosilaga ega bo’lsin. Bu holda funksiya orttirmasini ushbu
y f (x0 )x o(x)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu formulani hamda funksiya differensiali uchun dy f (x0 ) x formulani etiborga olib topamiz:

limx0 dyy  limx0 f (xf0)(xx)  ox(x)  lim 1 f (1x0)  o(xx) 1.
0   x 0
Shunday qilib, y ~dy . Natijada quyidagi
y dy ya’ni
f (x0  x)  f (x0 )  f (x0 ) x (6.15)
taqribiy tenglikka kelamiz. Ravshanki, y dy o(x). Shuning uchun x 0 da (6.15) taqribiy tenglikning nisbiy hatosi nolga intiladi, ya’ni
y dy  0.
x
(6.15) formula x0 a,b nuqtada differensiallanuvchi f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi y ni uning shu nuqtadagi differensiali dy bilan
almashtirish mumkinligini ko’rsatadi. Bu almashtirishning qulayligi, funksiya orttirmasi y argument orttirmasi x ning umuman aytganda, murakkab funksiyasi bo’lgan holda, funksiya differensiali dy esa x ning chiziqli funksiyasi bo’lishidadir. Agar x x x0 ekanini etiborga olsak, unda x0  x x bo’lib, (6.15) formula quyidagi f (x)  f (x0 )  f (x0 )(x x0 ) (6.16)
ko’rinishga keladi. Bunda x0 a,b nuqta xa,b nuqtadan katta farq qilmaydigan , ammo f (x0 ) qulayroq hisoblanadigan nuqtadir.
Masalan, f (x) sin x bo’lib, sin 290 ni hisoblash talab etilgan bo’lsin. Bu holda x0  300 deyish qulay. (6.16) formulaga ko’ra

sin290  sin300  cos300 (290 300)  0,5 3 2 0,4848
2 360
bunda radian olchovida yozish zarur, chunki boshqa hadlar radianlarda berilgan. Demak, sin290  0,4848 (10 4 aniqlikda ). Yuqoridagi (6.16) formula x0  0 bo’lganda ushbu
f (x)  f (0)  f (0) x

ko’rinishni oladi. Bu formula 1 x , 1 x, ex, ln(1 x), sin x, tgx funksiya-lar uchun quyidagicha bo’ladi:

(1 x)1 x, 1 x 1 x,
e x 1 x,
ln(1 x)  x, tgx x.
5−§. Yuqori tartibli hosila va differensiallar
10. Funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari. f (x) funksiya a,b intervalda aniqlangan bo’lib, uning har bir x nuqtasida f (x) hosilaga ega bo’lsin. Ravshanki, f (x) hosila ham x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Bu f (x) hosila ham o’z navbatida biror x0 a,b da hosilaga ega bo’lishi mumkin.
5–ta’rif. Agar f (x) funksiya a,b intervalning har bir xa,b nuqta-sida f (x) hosilaga ega bo’lib, bu f (x) funksiya x0 a,b nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deb ataladi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi d 2 y

yxx0 , f (x0 ) , dx2 xx0 belgilarning biri orqali yoziladi.
f (x) funksiyaning uchinchi, to’rtinchi va h.k tartibdagi hosilalari
xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Umuman, f (x) funksiya a,b intervalning har bir xa,b nuqtasida n 1- tartibli f n1(x) hosilaga ega bo’lsin. Bu f n1(x) funksiyaning x0 a,b nuqtadagi hosilasi ( agar u mavjud bo’lsa) f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi ntartibli hosilasi deb

n0 , f nx0 , ddxnny xx0 larning biri orqali belgilanadi. Odatda f (x) ataladi va yx x
funksiyaning f (x), f (x), hosilalari uning yuqori tartibli hosilalari deyiladi.
Shunday qilib, f (x) funksiyaning xa,b da ntartibli hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida 1, 2, , n1- tartibli hosila-lari mavjudligini taqozo etadi. Ammo bu hosilalarning mavjutligidan ntartibli hosila mavjudligi, umuman aytganda, kelib chiqavermaydi.

x x

Masalan, y  funksiyaning hosilasi y  x bo’lib, bu funksiya esa 2
x  0 da hosilaga ega emas, ya’ni berilgan funksiyaning birinchi tartibli
hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi esa mavjud emas.
Misollar qaraymiz.
1). y x bo’lsin (x  0 va R). Bu funksiyaning hosilalarini ketmaket hisoblaymiz:
y   x1;
y  (y)  ( x1)   (1)x2 ;
y  (y)  ((1) x2 )  (1)( 2)x3

berigan funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
xn1 2 n 1xn (6.17) formulaning o’rinli bo’lishini matematik induksiya usuli yordamida ko’rsatish qiyin emas. Ma’lumki, n 1 da
y   x1,
bo’ladi. Endi (6.17) formula n k da o’rinli, ya’ni
yk(1)( k 1)xk
bo’lsin deb, uning n k 1 da o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Ta’rifga ko’ra yk1  yk . Demak,
yk1  yk   1 2 k 1 xnk  
  -1 -2-k 1 -kxnk1 .
Bu esa (6.17) formulaning n k 1 da ham o’rinli bo’lishini bildiradi.
Demak, (6.17) formula ixtiyoriy nN uchun o’rinli.
(6.17) da  ixtiyoriy haqiqiy son. Xususan,  1 bo’lsin. Unda
1
y  funksiyaning ntartibli hosilasi x  1x n  1  2 nx1n  x1nn! (6.18)
n 1
bo’ladi.
2). y  ln x (x  0) funksiyaning ntartibli hosilasini topamiz. Bu
1 funk-siyaning hosilasi y  bo’lishidan hamda (6.18) formuladan
x
n1 n1
yn  yn1   1x   1 xn(n 1)!
formula kelib chiqadi. Demak,
ln xn  1nx1(nn 1)! x  0.
3). y a xa  0, a 1 bo’lsin. Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz:
y  a x lna,
y  (a x lna)  a x ln 2 a, y  (a x ln 2 a)  a x ln 3 a,
     
Bu munosabatlarga qarab y a x funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
yn  a x ln n a
formulani yozamiz. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli yordamida osongina isbotlanadi. Demak,
ax n  ax lnn a.
Xususan, nN uchun ex nex.
4). y  sin x bo’lsin. Ma’lumki , bu funksiya uchun y  cos x . Biz uni
quyidagi
y  (sin x)  cos x  sinx
 2 
ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra y  sin x funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini hisoblaymiz:
y  (cos x)  sin x  sinx  2,
 2 
y  (sin x)  cos x  sinx  3,
 2 
yIV (cos x)  sin x  sinx  4.
 2 
Bu ifodalardan esa y  sin x funksiyaning ntartibli hosilasi uchun
yn  sinx n  
 2 
formula kelib chiqadi. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi. Demak,
(sin x)n sinx n .
 2 
Xuddi shunga o’xshash
(cos x)n cosx n .
 2 

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish