Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
;
2) tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: , , ;
Kritik nuqtalarning har uchalasi kesmaga tegishli. Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
, .
Bu qiymatlarni taqqoslab eng katta qiymat eng kichik qiymat ekanligini aniqlaymiz.
2. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
;
2) Kritik nuqtalarni topamiz: , , va ;
Demak, kritik nuqta ikkita bo’lib, ulardan biri, ya’ni nuqta qaralayotgan kesmaning ichki nuqtasi bo’lmaydi. Shuning uchun kririk nuqtanigina olamiz. Shunday qilib, biz va larni topamiz. ; ;
.
Demak, eng katta qiymat va eng kichik qiymat bo’ladi.
3. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
;
2) tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz:
, , .
Demak, va kritik nuqtalar bo’lib, ularning har ikkalasi kesmaga tegishli emas. Bundan tashqari, nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirmaydi;
3) Funksiyaning kesma chegaralaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
; .
Demak, funksiyaning kesmadagi eng kichik qiymati va funksiyaning eng katta qiymati ekan.
4. funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati topilsin.
Yechish: Bu yerda argumentning o’zgarishi biror kesma bilan chegaralanmagan va funksiya da aniqlangan. Shuning uchun biz funksiyaning qiymatlarini ning dagi qiymatlarida qaraymiz.
1) hosilani topamiz: ;
2) Kritik nuqtalarni topamiz:
, .
Demak, nuqta kritik nuqta. Boshqa kritik nuqtalar mavjud emas. Chunki hosila ning har qanday qiymatlarida mavjud.
3) nuqtaning atrofida hosilani ishorasini tekshiramiz.
da va da
bo’lishi ma’lum. Demak, berilgan funksiya nuqtada minimumga ega va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. U quyidagiga teng.
5. Perimetri bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar ichidan yuzi eng katta bo’lganini toping.
Yechish: Biz tekshiradigan funksiya to’g’ri to’rtburchakning yuzidan iborat bo’ladi. Bu funksiya ko’rinishda bo’ladi. Masalaning shartiga asosan yoki . Bundan ni orqali ifodasini aniqlaymiz va uni ga qo’yamiz: bo’lganligi uchun yoki bo’ladi. Bu yerda bo’lishi ravshan. Shunday qilib, berilgan masala funksiyaning kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni aniqlaymiz:
1) Funksiya hosilasini aniqlaymiz: .
2) Kritik nuqtalarni topamiz: , .
3) kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz:

4) kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz: , .
Demak, funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati
bo’ladi.
Endi ni topamiz: , Demak, .
Shunday qilib, izlanayotgan to’g’ri to’rtburchak tomoni dan iborat bo’lgan kvadrat bo’ladi.
6. musbat sonni ikkita qo’shiluvchiga shunday ajratingki, bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lsin.
Yechish: Qo’shiluvchilardan biri bo’lsin: u holda ikkinchi qo’shiluvchi bo’ladi. Bu qo’shiluvchilarning ko’paytmasi o’zgaruvchi miqdor bo’ladi. Agar biz uni bilan belgilasak, u ga teng bo’ladi. Bu yerda ekani ravshan.
Shunday qilib, berilgan masala funksiyaning kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni topamiz:
1) Funksiyaning hosilasini topamiz:
;
2) Kritik nuqtalarni topamiz:
, ;
3) kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz:
;
4) kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz:
, .
Demak, funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati bo’ladi.
Birinchi qo’shiluvchi bo’lib, ikkinchi qo’shiluvchi ham bo’lsa, qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lar ekan.
7. Jism qonun bo’yicha to’g’ri chiziqli harakat qiladi, bunda yo’l (metr hisobida) va vaqt (sekund hisobida). Vaqtning qanday paytida jism harakatining tezligi eng katta va u qancha bo’ladi?
Yechish: Jism harakatining tezligi yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng: Ya’ni,
.
Shunday qilib, berilgan masalani yechish funksiyaning ekstremumini topish masalasiga keltirildi.
1) Funksiyaning hosilasini olamiz: ;
2) Kritik nuqtalarini topamiz: , .
Demak, funksiya birgina kritik nuqtaga ega.
3) nuqtaning chap va o’ng tomonida hosila ishorasini aniqlaymiz:
bo’lganda va bo’lganda bo’ladi.
Shunday qilib, hosila nuqtadan o’tishda o’z ishorasini musbatdan manfiyga o’zgartirdi. Shuning uchun bo’lganda jismning tezligi eng katta bo’ladi va uning miqdori
bo’ladi.
8. Tubi kvadrat shaklida va hajmi bo’lgan usti ochiq cho’milish havzasining devorlari hamda tubini qoplash uchun sarflanadigan material eng kam bo’lishi uchun cho’milish havzasining o’lchamlari qanday bo’lishi kerak?
Yechish: Asosi tomonini bilan, chuqurligini bilan belgilaymiz. U holda cho’milish havzasining hajmi

bo’ladi. Suv havzasining material bilan qoplanadigan yuzasi

bo’ladi. dagi ni orqali ifodalaymiz va uni ga qo’yamiz. Natijada

ni hosil qilamiz. Hosil bo’lgan bu funksiyani da ekstremumga tekshiramiz.

nuqtaning chap va o’ng tomonlarida ning ishorasini aniqlaymiz.
va
Demak, funksiya nuqtada minimumga ega va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bo’ladi. Suv havzasining chuqurligi