Funksiya ortirmasi. Hosila tushunchasi Reja

Aim.uz

Funksiya ortirmasi. Hosila tushunchasi
Reja :

1. 
   Argument va funksiya orttirmasi
   
2. 
   Hosilaning fizik ma’nosi
   

y= f(x) funksiya x va x₁ nuqtalarda aniqlangan bo’lsin. x₁ – x ayirma argumentning x₁ nuqtadagi orttirmasi, f(x₁) - f(x₂) ayirma esa funksiyaning x₁ nuqtadagi orttirmasi deyiladi.
Argument orttirmasi Δx, funksiya orttirmasi Δf yoki Δy ko’rinishda belgilanadi. Demak, Δx = x₁ – x, bundan x₁= x + Δx;
Δf = f (x₁) – f(x) = f (x + Δx) – f (x)
1-misol: y = x³ funksiyaning argument qiymati x dan x + Δx ga o’tgandagi orttirmasi toping.
Yechish: f(x) = x³, f ( x + Δx) = (x + Δx)³
Demak, Δf= f (x +Δx) – f (x) = (x+ Δx)³ – x³= x³ + 3x² Δx + 3 · x · (Δx)² + (Δx)³ – x³ = 3 x² Δx + 3 xΔx² + (Δx)³ . Shunday qilib,
Δf=(3x²+3x Δx+( Δx) Δx
Bu formuladan foydalanib x va Δx ning ixtiyoriy berilgan qiymatlari uchun f ning qiymatini hisoblash mumkin. masalan, x = 2, Δx=0,1 bo’lganda Δf = f (2,1) – f (2) = (3 · 2² + 3 · 2 · 0,1 + 0,1²) 0,1 = 1,261
2 – m i s o l. y = kx +b chiziqli funksiya uchun k = _{ } tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang.
I s b o t . f (x) = kx + b; f (x + Δ) = k (x + Δ x) + b;
Δf = f (x + Δx) - f(x) = k (x +Δx) + b – (kx+b) = kΔx
Bundan _{ }= k
ekani kelib chiqadi.
Isbotlangan tenglikning geometrik ma’nosi chizmada keltirilgan.
y = f (x) funksiya x nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o’z ichiga oluvchi yetarlicha kichik radiusli oraliqqa aytiladi).
Δx – argumentning shunday orttirmasiki, x + Δx nuqta x nuqtaning atrofiga tegishli bo’ladi; Δf esa funksiyaning shu orttirmaga mos orttirmasi, ya’ni Δf = f(x+Δx)-f(x) bo’lsin.
Agar funksiya Δf orttirmasining argumentning Δx orttirmasiga bo’lgan nisbatning argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti mavjud bo’lsa, y = f (x) funksiya x nuqtada differensialanuvchi funksiya deyiladi. Bu limitning qiymati y = f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi va f ‘(x), Y’ ko’rinisda belgilanadi, ya’ni
f’(x) = y’ = _{ }
bu yerda f’(x) yangi funksiya bo’lib, yuqoridagi limit mavjud bo’lgan barcha nuqtalarda aniqlangan;
bu funksiya y = f (x) funksiyaning h o s i l a s i deb ataladi.
1 – m i s o l. agar f (x) = x² bo’lsa f’(2) ni toping.
Y e c h i s h: 11 f (2) = 2² = 4, f (2+Δx) = (2 + Δx)², Δf = f (2 + Δx)² – 4 = 4 Δ x + (Δx)².
_{ }
yoki
_{ }
demak, f’(2)=4
Xuddi shunga o’xshash f’(x)= 2x bo’lishini ko’rsatish mumkin.
Ta’rifga asoslangan holda y = f(x) funksiyaning berilgan x nuqtadagi hosilasini topishning quyidagi tartibini tavsiya qilamiz:

1. 
   Berilgan x qiymat uchun f(x) hisoblanadi.
   
2. 
   Argument x ga Δx orttirma berib, f(x+ Δx) topiladi.
   
3. 
   Funksiyaning Δf = f(x+ Δx) – f (x) orttirmasi topiladi.
   
4. 
   _{ } nisbat tuziladi
   
5. 
   _{ } nisbatning Δx→0 dagi limiti topiladi.
   

2 – m i s o l. y = x³ funksiya hosilasini toping.
Y e c h i s h.
1) f (x) = x³ 2) f (x+Δx) = (x+ Δx³)
3) Δf = f (x + Δx) – f(x) = (x+Δx) – x³= 3x²Δx + 3x(Δx)²+(Δx)³;

1. 
   _{ }= 3x² + 3xΔx + (Δx)²;
   
2. 
   _{ }
   

demak, f’(x) = (x³)’ = 3x²
3 – m i s o l. F(x) = c funksiyaning hosilasini toping, bunda s –biror berilgan son
Y e c h i s h. 1) f (x) = c, 2) f(x+Δx) = c;
3) Δf = f(x+Δx) – f(x) = c –c = 0
4) _{ }= _{ }= 0; 5) _{ }
Demak, ( c )’= 0, ya’ni har qanday o’zgarmas sonning hosilasi 0ga teng.
Hosilaning fizik va geometrik ma’nosi
a) H o s i l a n i n g f i z i k m a ’ n o s i. Faraz qilaylik, harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qonuni s (t) = f (t), ya’ni vaqtning uzluksiz funksiya ko’rinishida berilgan bo’lsin.
Argument t ga Δt orttirma berib, s (t) funksiyaning Δt orttirmasini topamiz. Ma’lumki, Δs(t)= s(t+Δt) – s (ct), bu tenglikdan
_{ }
ni olamiz, ya’ni _{ }nisbat harakatdagi moddiy nuqtaning [t.t. + ∆t] vaqt oralig’idagi o’rtacha tezligini beradi.
Hosila ta’rifiga ko’ra: s’(t) = _{ }
ya’ni harakatdagi moddiy nuqtaning yo’l tenglamasidan vaqt bo’yicha olingan hosila moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligini beradi.
Shunga o’xshash, v’(t)= a(t), ya’ni tezlik tenglamasidan vaqt bo’yicha olingan hosila tezlanishni beradi.