Funksiya differensiali’’

1-teorema. Agar funksiya nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada
va
xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Shunday qilib, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti). Agar funksiya nuqtaning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi.
funksiya nuqtada diferrensiallanuvchi bo’lsin.
3-ta’rif. to‘liq orttirmaning larga nisbatan chiziqli bo‘lgan bosh qismi ga funksiyaning nuqtadagi to‘liq differensiali deyiladi va u bilan belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko‘ra yoki 2-teoremaga binoan

Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng.
To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:
(2)
yoki

bu yerda funksiyaning
nuqtadagi xususiy differensiallari.
Masalan. funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz:
.
U holda

Ko‘pchilik masalalarni yechishda funksiyaning
nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga
taqriban tenglashtiriladi, ya’ni deb olinadi.
Demak,

yoki
. (3)
(3) taqribiy tenglikka funksiyani nuqta atrofida chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir kattalikning taqribiy qiymatini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
_{Funksiyaning xususiy hosilalari.}

. A ni biror funksiyaning nuqtadagi qiymatiga tenglashtiriladi, ya’ni deb olinadi;
. nuqta nuqtaga yaqin va ni hisoblash qulay qilib tanlanadi;
. hisoblanadi;
. lar topilib, lar hisoblanadi;
. qiymatlar (2.3) formulaga
qo‘yiladi.
Masalan. ni taqribiy hisoblaymiz.
. , deymiz.
U holda ,
. , ya’ni deb olamiz;
.
.
;
.

nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan funksiya shu
atrofda xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi.
Bu hosilalar va o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:




Uchinchi, to‘rtinchi va umuman tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi.
va hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi.