Funksiya differensiali’’

Yechish: (%) . Shunda
 (1)
Funksiya xosilasini topamiz :

Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib chiqadi:  va maksimum funksiya (1) mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko’rinishda tuzib olamiz:
,
Aniqlangan bu sistemadan natijani olamiz. nuqtani va shartlardan foydalanib, ekanligini osongina tekshiramiz.


Xulosa
L chiziq y = f (x) ning grafigi bo'lsin. U holda x x = MQ, du = QM ’(quyidagi rasmga qarang). TN chiziqli MN Δu segmentini ikki qismga bo'linadi, QN va NM '. Birinchisi ph bilan mutanosib va QN = MQ ∙ tg (burchak QMN) = ph f ((x) ga teng, ya'ni QN - diferensial dy.
Ikkinchi qism NM 'Δu the dy farqini beradi, Δx → 0 bo'lganda NM' uzunlik argument o'sishidan ham tezroq kamayadi, ya'ni u kichiklik tartibiga ko'ra Δx dan yuqori. Ko'rib chiqilayotgan holatda f ’(x) kas 0 uchun (teginish chizig'i OX ga parallel emas) QM’ va QN segmentlari ekvivalent; boshqacha aytganda, NM 'umumiy o'sishga qaraganda tezroq kamayadi (uning kichikligi tartibi yuqori) du = QM'. Buni rasmda ko'rish mumkin (M'to M ga yaqinlashganda NM segment QM segmentning kichik foizini tashkil qiladi).
Shunday qilib, grafik jihatdan, ixtiyoriy funktsiya differentsiali uning teginish ordinatasi o'sishiga tengdir.
Funktsiyaning o'sishi uchun ifoda birinchi davridagi A koeffitsienti uning hosilasi f '(x) qiymatiga teng. Shunday qilib, quyidagi munosabatlar mavjud - dy = f '(x) Δx, yoki df (x) = f' (x) Δx.
Ma'lumki, mustaqil argumentning o'sishi uning differentsial Δx = dx ga teng. Shunga ko'ra siz quyidagilarni yozishingiz mumkin: f '(x) dx = dy.
Differentsiallarni topish (ba'zan shunday deyiladi, "echish") hosilalar uchun xuddi shunday qoidalar asosida amalga oshiriladi. Ularning ro'yxati quyida keltirilgan.
Y = x funksiyaning differentsialini topishga harakat qilaylik3lotin topmasdan. Keling, argumentni kattalashtiramiz va Δu ni aniqlaymiz.
Du = (ph + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3).
Bu erda A = 3x koeffitsienti2 $ Delta x $ ga bog'liq emas, shuning uchun birinchi atama $ Delta x $ ga mutanosib, boshqa atama $ 3x times $ bo'ladi.2 + Δx3ph → 0 da argument o'sishidan tezroq kamayadi. Shunday qilib 3x2Dx - y = x differentsial3:
dy = 3x2Ph = 3x2dx yoki d (x3) = 3x2dx.
Bundan tashqari, d (x3) / dx =3x2.
Endi y = 1 / x funktsiyasini uning hosilasi bo'yicha dy ni topamiz.Keyin d (1 / x) / dx = -1 / x2... Shuning uchun dy = ─ Δx / x2.
Ko'pincha x (a) funktsiyasini, shuningdek uning hosilasi f ’(x) ni x = a uchun hisoblash oson, lekin x = a nuqta yaqinida buni qilish oson emas. Keyin yordam uchun taxminiy ibora keladi
f (a + Δx) ≈ f '(a) Δx + f (a).
U funktsiyani uning differentsial f '(a) Δx orqali Δx kichik o'sishlarida taxminiy qiymatini beradi.
Binobarin, ushbu formulaning uzunligi ma'lum bir kesimning so'nggi nuqtasida funktsiya uchun taxminiy ifoda berilgan, bu qismning boshlang'ich nuqtasida qiymati (x = a) va bir xil boshlang'ich nuqtasida differentsial yig'indisi. Funktsiyaning qiymatini aniqlashning ushbu usulining xatosi quyidagi rasmda keltirilgan.