Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

§.    Topologik     fazolarni     uzluksiz    aks   ettirish 

 

 

              Ta’rif.  

 ,   

     topologik     fazolar ,    

   aks    ettirish    va                                               

       

     bo’lsin.     Agar    

    nuqtaning     har   bir   U    atrofi    uchun                        

       

  ning     

    shartni     qanoatlantiruvchi     V    atrofi    mavjud    bo’lsa, 

       f     aks    ettirish    

     nuqtada      uzluksiz    deyiladi.    Agar    f      aks    ettirish 

       X   ning    har   bir     nuqtasida     uzluksiz     bo’lsa,   u    X    da    uzluksiz     yoki, 

       qisqacha,       uzluksiz    deyiladi.    Xususan ,      X     topologik     fazoni      to’g’ri 

       chiziqqa    uzluksiz     aks    ettirish     X     fazodagi    uzluksiz    funksiya   deyiladi. 

             Biror   topologik    fazoni    ikkinchi   bir    topologik     fazoga    aks     ettirish- 

       ning    uzluksizligini    ochiq    to’plamlar    yordamida    ham   ta’riflash   mumkin 

 

             1-teorema.

   topologik    fazoni   

   topologik   fazoga   aks   ettirish 

       uzluksiz  bo’lishi   uchun   Y   fazodagi   har  bir  ochiq  to’plamning  X   dagi   asli 

       ochiq  bo’lishi  zarur  va  kifoyadir. 

 

             Isboti.    

    uzluksiz    aks   ettirish   va   

  biror   ochiq   to’plam 

       bo’lsin.      

    to’plamning     X    da    ochiqligini     ko’rsatamiz.   Ixtiyoriy 

       

    elementni     olamiz.   U  holda    

    va     toıplam   ochiq 

       bo’lgani    uchun   u     o’zining    

    nuqtasining    atrofi    hamdir.   Shuning                      

       uchun          aks    ettirishning     uzluksizligidan   

   ning    

      shartni 

       qanoatlantiruvchi        atrofi   mavjudligi  kelib   chiqadi.  Bundan    

 

       ekanligi    va   demak,    

 ning    ochiq  to’plamligi   kelib  chiqadi. 

             Endi     aks  ettirish   uchun     dagi  har  bir   ochiq   to’plamning   asli     da 

       ochiq  bo’lsa,   u  holda      ning    uzluksizligini   ko’rsatamiz.    Ixtiyoriy    

 

       nuqtani  olib,  

 ning  biror      atrofini  olaylik.  

       Umumiyatlikni    buzmagan   holda      ni   ochiq    to’plam  deb  faraz  qilishimiz 

       mumkin.  Agar   

    to’plamni     bilan   belgilasak,   u   holda    

    va                      

           ochiq   to’plam,  demak,  u   

 ning   atrofi  va   

 . 

             To’plam   to’ldiruvchisining    asli    shu   to’plam    aslining   to’ldiruvchisiga 

       teng  bo’lgani  uchun   1-teoremadan  quyidagi   teorema  bevosita  kelib  chiqadi. 

 

 

             2-teorema.  

   topologik   fazoni    

  topologik  fazoga  aks  ettirish 

       uzluksiz   bo’lishi  uchun      dagi   har   bir    yopiq   to’plamning       dagi   asli 

       yopiq   bo’lishi  zarur  va  kifoyadir. 

 

             Matematik      analizdan       ma’lum     bo’lgan     uzluksiz     funksiyalarning 

       superpozitsiyalari      uzluksiz       bo’lishi       haqidagi       teorema       topologik 

       fazolarni   uzluksiz    aks   ettirishlari   uchun  quyidagicha  umumlashtiriladi. 

 

 

                                                                     17 

---

       3-teorema.   

    topologik   fazolar  va    

,   

   uzluksiz                     

aks      ettirishlar     bo’lsin.   U    holda     

     aks      ettirish      ham   

uzluksizdir    (bu   yerda   

. 

 

Teoremaning   isboti   2-teoremadan   bevosita    kelib   chiqadi. 

 

       Ta’rif.    X      topologik      fazoni    Y     topologik     fazoga     f   aks   ettirish                       

quyidagi    ikki    shartni   qanoatlantirsa ,   u    gomeomorf      aks    ettirish    yoki  

gomeomorfizm    deyiladi: 

 

      1)   o’zaro   bir  qiymatli  aks  ettirish  va  

. 

 

      2)

   uzluksiz  aks  ettirishlar. 

 

Bu   holda       va      fazolar   o’zaro   gomeomorf    topologik   fazolar   deyiladi. 

              

       Misol.  R   va   

    topologik    fazolar   gomeomorf     fazolar,    bunda 

  gomeomorfizmni  quyidagicha   aniqlash   mumkin: