Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

§.  Topologik    fazolarning    ta’rifi    va   misollar 

 

 

       Metrik       fazolarning       asosiy    tushunchalari   (limit     nuqta,    to’plamning                                                                                                           

yopilmasi      va    hokazo)      atrof        hamda      ochiq       to’plam      tushunchalari 

yordamida      kiritilgan     edi.  Bunda    atrof    va   ochiq   to’plamlar   ko’rilayotgan  

fazoda       berilgan      metrika      bilan       aniqlangan       edi.   Umuman,     berilgan 

to’plamda      ochiq     to’plamlar      sistemasini    aksiomalar    yordamida    bevosita 

kiritish   mumkin. 

 

                                                             8 

---

 

             Ta’rif:  T   to’plamdagi    topologiya    deb,    X    ning     qism     to’plamlaridan   

      iborat    va   quyidagi  aksiomalarni  qanoatlantiruvchi     sistemaga  aytiladi: 

             

  

  

 ; 

 

             

 Agar  

⸦    bo’lsa, u  holda   

 , 

 

     bu  yerda  indekslar  to’plami  I  ixtiyoriy; 

 

             

  

   va  n  ixtiyoriy  natural  son  bo’lsa, u  holda   

. 

 

             

   juftlik   topologik   fazo   deb   ataladi.   X  ning     sistemasiga   tegishli 

     bo’lgan    qism    to’plamlari      ochiq    to’plamlar     deb   ataladi.   Shunday    qilib, 

     topologik    fazoni    berish -  bu   biror    X    to’plamni   olib,   unda      topologiyani 

     kiritish,  ya’ni   X   ning  ochiq   to’plam   deyiladigan   qism   to’plamlarni   aniqlash 

     demakdir.  Topologik    fazoning   elemantlari   uning   nuqtalari   deb  ham   ataladi. 

 

 

             Bitta     X     to’plamda    turli     xil    topologiyalar    kiritish   mumkin    bo’lib,                      

     bunda  turli  topologik  fazolar  hosil  bo’ladi. 

             

  va  

    sistemalar    X    dagi   ikkita    topologiya    bo’lsin.   Agar     

 

     munosabat    o’rinli   bo’lsa,   

  topologiya  

  topologiyaga    nisbatan   kuchliroq 

     topologiya   deyiladi  va   

   ko’rinishda  yoziladi. Bu  holda 

  topologiyani 

     

  topologiyaga   nisbatan   kuchsizroq (sustroq)   ham   deyiladi. 

 

 

             Misollar. 

 

    1.Har   qanday    metrik   fazodagi   ochiq  to’plamlar   sistemasi  topologiyaning 

 va  

  aksiomalarini  qanoatlantiradi. Demak,  ixtiyoriy  metrik  fazo  tabiiy 

ravishda  topologik  fazo  hamdir. 

  2. X  ixtiyoriy  to’plam  va     uning  barcha  qism   to’plamlari  sistemasi   bo’lsin 

     deb   faraz  qilaylik. Unda  

  topologik  fazodir.  X  dagi   butunlay  topologiya 

     diskret  topologiya  deyiladi. 

          3. X  to’plamda  faqat      bilan  X  dan   iborat  sistema   ham   topologiya   hosil  

     qiladi (antidiskret  topologiya).  

               Yuqorida    keltirilgan    2- misoldagi    topologiya    X   to’plamdagi    barcha                      

     topologiyalarning   eng   kuchlisidir, 3- misoldagi   topologiya   esa   bular   orasida 

     eng  kuchsizidir.  

           4. Ikki   elementdan   iborat    

   to’plamda   hammasi   bo’lib   to’rtta                         

     topologiya   mavjud . Ular   quyidagilardir: 

 

 

 

                                                                        9 

---

             

 ,  

     

 

             

  

. 

 

 

 

                                4-