Функцияларға арналған Тейлор формуласы. 1 теорема. Егер f функциясы

[а,b] кесіндісінде үзіліссіз f функциясының ең үлкен (ең кіші) мәнін табу керек болсын. Оның қандай да бір нүктесінде болатыны белгілі.
Ендеше тек келесі үш жағдай болуы мүмкін
1)
Егер . болса, онда - локальді экстремум нүктесі екені түсінікті.
Егер аталған нүктелер x_l,x₂,...,x_m ақырлы жиын құраса, онда

(3)


Қорытынды. № 41-42 лекциялардан кейін студенттер туындыны пайдаланып функцияның монотондық аймағын таба алады және оның экстемумын немесе ең үлкен немесе ең кіші мәндерін таба алады.
№ 43-44 лекциялар. Туынды көмегімен функцияның дөңестігін, иілу нүктелерін анықтау. Функция асимтотасы және оны толық зерттеп графигін салу.
Функциялардың дөңестігі. Иілу нүктелері
f(x) функциясы I-аралығында берілсін.
Анықтама. Егер f(x) –тің графигін кез келген A_l(x_],f(x_l)) жәнеА₂(х₂,/(х₂)) екі нүктесінің арасындағы доға осы доғаны керетін хордадан жоғары жатпаса, онда f(x) — функциясы I аралығында дөңестігі төмен бағытталған, қысқаша, ойыс функция деп аталады

Егер g(x) = -f(x) функциясы I аралығында ойыс болса, онда f(x) - функциясы I аралығында доңестігі жоғары бағытталған, қысқаша, дөңес функция деп аталады (30-сурет).
Әрине f(x) ойыс функция болса, онда - f(x) дөңес болады.
1 - теорема. Егер f'(x) функциясының I аралығында туындысы бар болса, онда f'(x) ойыс (дөңес) функция болу үшін f'(x) функциясы I аралығында кемімейтін (өспейтін) функция болуы қажетті және жеткілікті.
f(x) функциясының I аралығында екінші ретті туындысы бар болса, онда f'(x) функциясы I аралығында кемімейтін (өспейтін) болуы шарттарымен пара-пар болғандықтан келесі теоремаға келеміз.
2 - теорема. Егер I аралығында f(x) функциясының екінші ретті туындысы бар болса, онда ) ойыс (дөңес) функция болуы үшін теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
Ойыс (дөңес) функциялардың геометриялық сипаты келесі теоремадан көрінеді (дәлелдемесін келтірмейміз).
Теорема. f(x) - аралығында дифференциалданатын функция болса, онда - f(x) ойыс (дөңес) функция болуы үшін, оныңт графигі өзінің әрбір жанамасынан төмен (жоғары) жатпауы қажетті, және жеткілікті.
Анықтама. f(х) функциясы (а,b) аралығында анықталған және үзіліссіз болсын. Егер нүктесінің белгілі бip оң және сол жақты маңайларында f(х) функциясыныц дөңестігі қарама-қарсы бағытталған болса, онда нүктесі f(х) - тің графигін иілү нүкте деп
аталады.
3 - теорема (иілу нүктесінің қажетті шарты). аралығында
f(х) дифференциалданатын, ал - нүктесінде екінші ретті туындысы бар функция болсын. Егер нүктесі болса, онда
4 - теорема (иілу нүктесінің, жеткілікті шарты). Егер f(х) функциясы нүктесінің белгілі бip - маңайында үзіліссіз болып, аралығында туындысы бар және ол кемімейтін (өспейтін), аралығында туындысы бар және ол өспейтін (кемімейтін) болса, онда - иілу нүктесі.
Басқаша айтқанда, (х- өсу бағытында) х₀- нүктесінен өткенде f"(x)- екінші ретті туындының таңбасы өзгерсе онда (x_a,f(x_u))- иілу нүктесі болады.
Сонымен, функцияның иілу нүктелерін тек қана f"(x_a) = 0 орындалатын немесе f"(x) - болмайтын (жоқ) нүктелердің (ондай нүктелерді функцияның екінші ретті күдікті нүктелері деп те атайды) іздеу керек.
3. Функция графигігінің асимптоталары
Анықтама. Егер y=f(x) функциясының графигіндегі M(x,f(x) нүктесі координата бас нүктесінен шексіз алшақтағанда М осы нүктесінен y=kx+b түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, y=kx+b түзуі f(x) - тің графигінің асимптотасы деп аталады.
Мұнда екі жағдай болуы мүмккін:
1) M(x,f(x)) нүктесінің абциссасы х ақырлы а санына ұмтылады. Онда немесе х = а, у<о жартлай түзуі вертикаль асимптота болады;
2) М(х,f(х)) нүктесінің абциссасы немесе ұмтылады. Онда у = kx + b көлбеу асимптота деп аталады.
1 - теорема (вертикаль асимптота туралы). х - а түзуі вертикаль асимптота болуы үшін
(4)
шектерінің ең болмағанда біреуі шексіз үлкен болуы қажетті және жеткілікті.
Ескерту. Вертикаль асимптотаны анықтайтын ' х = а саны функциясының үзіліс (екінші ретті) нүктелерінің ішінде.
Егер у =f(х) - үзшліссіз функция болса, онда вертикаль асимптота жоқ.
2 - теорема (көлбеу асимптота туралы). y = kx + b түзуі y = f(x) функциясының көлбеу асимптотасы болуы үшін жане (4)
шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.
(мұнда ұмтылғандағы шек оң жақ көлбеу асимптота, ал
-да ұмтылғандағы шек сол жақ көлбеу асимптота үшін қарастырылады).
4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
Функцияны зерттеп, оньң графигін салу жұмысын келесі ретпен жүрпзуді ұсынуға болады.
1. Функцияның анықталу аймағын анықтау. Оны жұп, тақ, периодтылығы. Графиктің координата өстерімен қиылысу нүктелерін табу;
2. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу.
3. Функцияның асимптоталарын табу.
4. Өсу, кему аралықтарын, экстремумдерді табу. ,
5. Ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу.
6. Табылған үзіліс нүктелерін, күдікті нүктелерді олардың арасындағы аралықтарды (интервалдарды) көрсетіп кесте (таблица) салу. Әрбір аралықта функцияның сипаты көрсетіледі.
7. Қажет болған жағдайда (дәлірек график үшін) функцияның аралық мәндерін таба отырып функция графигінің эскизін салу.


Қорытынды. № 43-44 лекциялардан кейін студенттер туындыны пайдаланып функцияны толық зерттеп графигін сала алады.