Функцияларға арналған Тейлор формуласы. 1 теорема. Егер f функциясы

Функцияларға арналған Тейлор формуласы.
1 - теорема. Егер f функциясы х₀ нүктесінің қандайда бip маңайында n — рет үзіліссіз дифференциалданса, онда үшін келесі теңдік орындалады:
(14)

(14) - теңдікті Пеано мағынасындағы қалдық мүшесі бар Тейлор формуласы деп атайды.

Дербес жағдайда х₀ =0 болса, онда (14) - тендік келесі түрге ие болады:
(15)


(15) - теңдік Пеано түріндегі (мағынасындағы) қалдық мүшесі бар Маклорен формуласы деп аталады.
Егер маңайында функцияның үзіліссіз туындысы бар болса, онда қалдық мүшені дәлірек жазуға болады.
2 - теорема. Егер — нүктесінің маңайында f функциясының (n + l)-i үзіліссіз туындысы бар болса, онда кез келген үшін
(16)


теңдігі орындалатындай нүктесі табылады.
(16) - теңдік Лагранж түріндегі қалдық мүшесі бар Тейлор формуласы деп аталады. (16) - теңдікте болса, онда Лагранж түріндегі қалдығы бар Маклорен формуласын жазуға болады:
(17)


(мұндағы х оң немесе тepic болуы мүмкін).
Ескерту. Тейлор формуласының қалдық мүшесінің басқа да түрлері бар екені белгілі. Мысалы, Коши түріндегі қалдық мүше
түрінде жазылады.
Қорытынды. № 39-40 лекциялардан кейін студенттер туындыны пайдаланып Лопиталь ережесімен анықталмағандықтарды шеше алады және Тейлор қатарына функцияны жіктей отырып оның жуық мәнін таба алады.

№ 41-42 лекциялар. Туынды көмегімен функцияның өсу, кему аралықтарын табу. Функция экстремумдарын табу. Функцияны экстремумға зеттеу.

§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу
1. Функциялардың локальді экстремумі
Функцияның локальді экстремумдерінің анықтамаларын еске түсірейік.
Егер (1)
сәйкес (2)
теңсіздігі орындалатындай саны бар болса, онда y=f(x)
функциясы с—нүктесінде локальді максимумге (сәйкес локальді
минимумге) ие болады дейді.
Егер (1) және (2) шарттарды

( сәйкес (2')
шарттарымен ауыстырсақ, онда с - локальді қатаң максимум (сәйкес, локальді қатаң, минимум) нүктесі деп аталады.
Анықтама. Егер х₀ - нүктесінде f(x₀) - үзіліссіз, f'(x₀) = 0 немесе f'(x₀) туындысы болмайтын (жоқ) болса, онда х₀ f -функциясыньң күдікті нүктесі деп аталады.
Егер х₀ f — функциясының экстремум нүктесі болса, онда Ферма теоремасы бойынша немесе болмаса, онда күдікті нүкте болады.
Бұган кepi тұжырым дұрыс емес. Мысалы, у = х³ функциясы үшін күдікті нүкте: Бірақ х₀ = 0 функцияның экстремум нүктесі емес, у = х³ функциясы өспелі. Сонымен х₀ функцияның экстремум нүктесі болуы үшін оның күдікті нүкте болуы қажетті (бipaқ жеткілікті емес).
1 - теорема, (экстремумның жeткiлiктi шарты). y = f(x) функциясы кесіндісінде үзіліссіз және мен аралықтарда дифференциалданатын болсын.
Егер мен аралықтарында f'(x) туындысының таңбалары қарама-қарсы болса, онда х₀ экстремум нүктесі. Атап айтқанда:
а) егер
болса, онда х_й -локальді максимум;
б) егер болса, онда х₀ - локальді минимум нуктесі;
в) және аралықтарында f'(x) таңбасы бірдей болса, онда нүктесінде локальді экстремум жоқ.
2 - теорема. фунциясының х₀ нүктесінде екінші туындысы бар және болсын. Онда
1) егер болса, онда -локальді минимум;
2) егер болса, онда -локальді максимум;
3) егер болса, онда -нүктесі экстремум нүктесі болуы да болмауы да мүмкін.
Функциялардың кесіндідегі ец үлкен және ең кіші мәндері