Fizika va astronomiya

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
MATEMATUKA VA FIZIKA FAKULTETI

“FIZIKA VA ASTRONOMIYA ” KAFEDRASI

MUSTAQIL ISH
Ta’lim yo’nalishi: Fizika
Guruh_104
Talabaning F.I.Sh_Jalolov Samariddin
Fan nomi :Matematik analiz asoslari.
Mavzu: Elementar funksiyaning yuqori tartibli xosilalari
REJA:
1. Hosilaning ta’rifi.
2. Elementar funksiyalarning hosilalari.
3. Teskari funksiyaning hosilasi.
1. Hosilaning ta’rifi:
y=f(x) funksiya X sohada aniqlangan bo’lsin. Erkli o’zgaruvchining birorta x=x0 qiymatini olib, X sohadan chiq-maydigan x0+x orttirma beramiz, u holda y=f(x0+x)-f(x0) funksiya orttirmasi hosil bo’ladi.
Ta’rif: y=f(x) funksiyasini x=x0 nuqtadagi funksiya orttirmasi у ni argument orttirmasi x ga bo’lgan nisbatini x0 dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limit berilgan y=f(x) funksiyasining x=x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va yoki f′(x0) kabi yoziladi. Umumiy holatda esa y′x, f`(x); deb yoziladi,
=f′(x0)= = (5.1)
y = f (x) funktsiya (a, b) intervalda berilgan bo‘lib, x0 shu intervalning biror nuqtasi bo‘lsin. Bu x0 nuqtaga x orttirma (x0, x0 + x(a, b)) berib, berilgan funktsiyaning orttirmasini topamiz:
y = f (x) = f (x0 + x) – f(x0)
Ravshanki, funktsiya orttirmasi x ga boғliq bo‘ladi. 1 ta’rif. Agar
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funktsiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va
f’ (x0 ) kabi belgilanadi.
Demak,

Agar x0 + = x deb olinsa, unda = x – x0 va da bo‘lib,

bo‘ladi. Bu xoll funktsiya hosilasini
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflash mumkinligini ko‘rsatadi.
Tabiat xodisalarini kuzatib tekshirar ekanmiz, amaliy faoliyatimizda kо‘plab fizik miqdorlarga duchor bо‘lamiz, bunday miqdorlarga vaqt, uzunlik, hajm, tezlik, massa, kuch va hokazolar kiradi.
Turmushda о‘zgarmas miqdorlar ham uchraydi. Masalan, aylana uzunligining uning diametriga nisbatini olish mumkin, istalgan aylana uchun bu miqdor о‘zgarmas bо‘lib, u soniga teng.
Ikkinchi misol: har qanday uchburchakda, uning ichki burchaklari yig‘indisi 1800 ga teng. Bunday misollarni kо‘plab kо‘rsatish mumkin.
Shunday qilib, miqdorlarni о‘zgaruvchi va о‘zgarmas miqdorlarga ajratish mumkin.
Ta’rif: Turli xil son qiymatlari qabul qiladigan miqdorga о‘zgaruvchi miqdor, birgina son qiymat qabul qiladigan miqdorga esa о‘zgarmas miqdor deyiladi. Odatda о‘zgarmas miqdorlarni va hokozo, о‘zgaruvchi miqdorlarni esa
y=xn (x>0) darajali funksiyaning xosilasini topaylik. Funksiya xosilasining ta’rifiga ko’ra у=(х+ х) н-хн=х н[ -1ё] n ajoyib limitni e’tiborga olsak
=nхн-1. yо=(хн)о=nхн-1.
2. y= х ( >0 , 1) ko’rsatkichli funksiyaning xosilasi.
y= - х= х ( -1);
=ln ajoyib limitga ko’ra
yо= = = х = х ln .
demak, yо=( х)о= хln
3. y=logах (а>0, а 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham
yо=(logах)о= logае formula bilan topiladi.
Agar logае= ; logеа=lnа ; logех=lnх ; logхе= . ekanligini e’tiborga olsak yо=(logах)о= kelib chiqadi.
Agar а=е desak lnа=lnе=1 bo’lib, y=lnх ; yо=(lnх)о= bo’ladi.
4. y=sinх funksiyanig xosilasini topish uchun x ga x orttirma bersak u xam у orttirma olib y=sin(х+ х)-sinх=2sin( )cоs[ ] ,
yо= = [ ]=cоsх.
yо=(sinх)о=cоsх
xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga mahlum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning xosilalarini xisoblash mumkin:
(cоsх)о=-sinх ; (tgгх) о= ; (ctgх) о=- .
5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning xosilasini hisoblashni ko’raylik.
y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra
yо=(arcsinх) о= = = =
(arcsinх) о= , (-1<х<1).
Xuddi shuningdek
(arccosх) о=- ; (arctgх) о= ; (arcctgх) о= - .
Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)-x=x(( )-1) ga teng va bo‘ladi. Ma’lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y’=x-1 bo‘ladi. Demak, (x)’=x-1 va d(x)=x-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x)) ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin: ((u(x)))’=(u(x))-1u’(x), d((u(x)))= (u(x))-1u’(x)dx.
Masalan y=(x2+1)3 funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x2+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra y’=3(x2+1)2((x2+1)’=3((x2+1)22x=6x(x2+1)2 bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi
y=ax (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=ax+x -ax=ax(ax-1) va .
M a’lumki, . Shuning uchun = =axlna mavjud. Demak (ax)’=axlna va d(ax)’=axlnadx, xususan, (ex)’=ex va d(ex)’=exdx formulalar o‘rinli ekan.
Ko‘rinib turibdiki, y=ex funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga teng ekan.
9-chizma Misol. y=ex funksiya grafigi Oy o‘qini qanday burchak ostida kesib o‘tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o‘qini (0;1) nuqtada kesib o‘tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=ex va y’(0)=e0=1, bundan esa urinmaning Ox o‘qi bilan kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o‘qi bilan ham kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qiladi. 9-chizmada y=ex funksiya grafigi berilgan, bunda funksiya grafigi x=0 nuqta atrofida y=x-1 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta’rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o‘qini /4 burchak ostida kesib o‘tuvchi ko‘rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.