Fizika va astronomiya

1-teorema. |x| < a tengsizlik –a < x < a tengsizlikka teng kuchli.
2-teorema. Ushbu |x| a (4) tengsizlik –a < x < a (5) tengsizlikka teng kuchli.
3-teorema. Agar |x| > a (6) bo’lsa, u holda x> a yoki x < -a bo’ladi.
4-teorema. Agar \x \ a bo’lsa, u holda x a yoki x a bo’ladi.
Natija. Ushbu x2 (7) va \x\ < a (8) tengsizliklar teng kuchlidir.
5-teorema. Yig’indining absolyut qiymati qo ‘shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig’indisidan katta bo’la olmaydi, ya’ni x1 va x2 haqiqiy sonlar uchun |x1+x2|<|x1|+|x2| (9) tengsidik o’rinli.
6-teorema. Ikkita son ayirmasining absolyut qiymati bu sonlar absolyut qiymatlarining ayirmasidan katta yoki teng.
7-teorema. Ko ‘paytmaning absolyut qiymati ko’paytuvchilar absolyut qiymatlarining ko’paytmaslga teng.
8-teorema. Ikki son bo’linmasining absolyut qiymati bo’linuvchi absolyut qiymatining bo’luvchi absolyut qiymatiga bo’linganiga teng.
Ta’rif: Haqiqiy sonlarning absolut qiymati yoki moduli deb ( bilan belgilanadi) a songa, agar a≥0 bo‘lsa, va – a songa, agar a<0 bo‘lsa, aytiladi, ya’ni:
Misol: |3|=3, |0|=0, |-4|=4.
Ta’rifdan har qanday haqiqiy a son uchun a≤|a| munosabat kelib chiqadi.
Absolut qiymatning ba’zi xossalarini ko‘rib chiqamiz:
1. |a+b|≤|a|+|b|, ya’ni ikkita haqiqiy son algebraic yig‘indisining moduli shu sonlar modullarining yig‘indisidan katta emas.
Isbot: Agara+b≥0 bo‘lsa, |a+b|=a+b≤|a|+|b|chunkia≤|a|vab≤|b|.
Agar a+b<0 bo‘lsa, |a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)≤|a|+|b|.
Misol: 1) |-3+5|<|-3|+|5|=3+5=8 yoki 2<8;
2) |-2-4|=|-2|+|-4|=2+4=6 yoki 6=6.
Isbot qilish mumkinki, |a+b+…..+c|≤|a|+|b|+…+|c|;
2. |a-b|≥|a|-|b|, ya’ni ayirmaning absolut qiymati kamayuvchi va ayriluvchi absolut qiymatlarining ayirmasidan kichik emas.
Isbot uchun a-b=c deb, a=b+c ni topamiz.
|a|=|b+c|≤|b|+|c|=|b|+|a-b|, bundan
|a|-|b|≤|a-b| kelib chiqadi.
Misol: 1. |(-7)-4|>|-7|-|-4|=|7-4|=3, 11>3
2. |5-2|=|5|-|2|=5-2=3 yoki 3=3
3. Ko‘paytmaning moduli ko‘payuvchilar modullarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni:
|a b ….. c|=|a| |b| …. |c|;
4. Bo‘linmaning moduli bo‘linuvchi bilan bo‘luvchi modullarining nisbatiga teng.
Oxirgi ikkita xossaning isboti modulning ta’rifidan kelib chiqadi.