Fizika-matematika fakulteti «Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar»

1-ta’rif. Nuqta-bo’laklarga ega emas.
2-ta’rif. Chiziq-ensiz uzunlik.
3-ta’rif. Chiziqning chegarasi - nuqtalardan iborat.
4-ta’rif. To’g’ri chiziq - o’zining barcha nuqtalariga nisbatan bir xil joylashgan chiziq.
5-ta’rif. Sirt-faqat uzunlikka va enga ega.
6-ta’rif. Sirtning chegaralari chiziqlardan iborat.
7-ta’rif. Tekislik-unda yotadigan barcha to’g’ri chiziqlarga nisbatan bir xil joylashgan sirt.
8-ta’rif. Yassi burchak-bir tekislikdagi ikkita kesishuvchi chiziqning bir-biridan og’ishi.
Ta’riflardan so’ng Yevklid isbot talab qilmaydigan jumlalar - postulatlar va aksiomalar keltiradi.
Postulatlar
I. Har bir nuqtadan boshqa nuqtaga to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
II. Har bir to’g’ri chiziqni istalgancha davom ettirish mumkin.
III. Istalgan nuqtani markaz qilib istalgan radiusli aylana chizish mumkin.
IV. Barcha to’g’ri burchaklar teng.
V. Ikki to’g’ri chiziqni kesuvchi to’g’ri chiziq ular bilan ichki bir tomonli burchaklar hosil qiladi, bu ikki to’g’ri chiziq ichki bir tomonli burchaklar yig’indisi ikki to’g’ri burchakdan kichik bo’lgan tomonda kesishadi.


Aksiomalar
I. Bitta miqdorga teng miqdorlar o’zaro teng.
II. Teng miqdorlarga teng miqdorlar qo’shilsa, teng miqdorlar hosil bo’ladi.
III. Teng miqdordan teng miqdorni ayirsak, teng miqdorlar hosil bo’ladi.
IV. Teng bo’lmagan miqdorga teng miqdorlarni qo’shsak, teng bo’lmagan miqdorlar hosil bo’ladi.
V. Teng miqdorlarni ikkilantirsak, teng miqdorlar hosil bo’ladi.
VI. Teng miqdorlarning yarimlari teng miqdorlar bo’ladi.
VII. Ustma-ust tushuvchi miqdorlar teng.
VIII. Butun miqdor qismdan katta.
IX. Ikki to’g’ri chiziq fazoni chegaralay olmaydi.
Negizlar asarining ba’zi nashrlarida IV, V postulatlar aksioma deb olinadi. SHuning uchun V postulat XI aksioma deb ham yuritiladi. Hozircha Yevklid aksioma va postulatni qaysi printsipga asosan olganligi aniqmasligicha qolmoqda.
Yevklid aksiomalardan so’ng teoremalarni mantiqiy bog’liqlik tartibini qat’iy etib joylashtirgan. Ya’ni, keltirilgan har bir teoremani oldin keltirilgan tasdiq, aksioma va postulatlarga tayangan holda isbotlash mumkin.
Barcha keyingi teoremalarni qat’iy mantiqiy isbotlash uchun yetarli bo’ladigan ta’rif va aksiomalarni keltirish geometriyani asoslash deyiladi.
Geometriyani asoslash masalasi Yevklid tomonidan to’g’ri qo’yildi va o’zining «Negizlar» asarida o’sha davrga nisbatan to’liq yechildi.
Yevklid «Negizlar» asarining zamonaviy matematika nuqtai nazaridan qaraganda, kamchiliklari mavjud. Ba’zi bir ta’riflari ta’riflanishi zarur bo’lgan tushunchalarga asoslanadi. Masalan, «chegara», «uzunlik» va hokazo tushunchalar. I-VIII ta’riflardan birortasi teoremalar isbotlashda foydalanilmaydi. Bu ta’riflar kitobda keltirilgan boshqa materiallarga bog’liq emas, ya’ni ularni tushirib qoldirsa ham kitobdagi keyingi mulohazalarga ta’sir qilmaydi. Bu ta’riflar faqat geometrik ob’ektlarni tasvirlash uchun kerak bo’lgan.
Postulat va aksiomalarga kelsak, umuman olganda ular muhim jumlalar hisoblanadi. Juda ko’p jumlalarni isbotlashda aksioma va postulatlardan foydalanishga to’g’ri keladi. Masalan, to’g’ri chiziq o’zining ikkita nuqtasi bilan aniqlanadi, istalgan radiusli aylana mavjud va hokazo. Lekin Yevklidning isbotsiz qabul qilgan jumlalari qat’iy mantiqqa asoslangan geometriyani qurish uchun juda kamlik qiladi. Yevklid ko’proq chizmalarga asoslanib fikr yuritadi.
Yevklidning «Negizlar» asarining kamchiliklari qadimgi olimlar tomonidan ham aniqlangan.
Geometrik postulatlar Arximed tomonidan kengaytirilgan. O’sha davrda Yevklid faqat uzunlik, yuza va hajmlar nisbati to’g’risida yozadi. Masalan, doiralar yuzalari radiuslari kvadrati, sharlar hajmlari esa radiuslari kublari kabi nisbatda bo’lishini yozgan. Arximed esa, bevosita bu kattaliklarni aniqlash uchun zarur jumlalarni ifoda etadi.
Arximed tomonidan beshta postulat kiritilgan, shulardan birinchisi va oxirgisini keltiramiz.