Fizika kursi

dV

dW

2

ψ

=

   

 

 

(19.5)  

ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda 

ψ

 - funksiya qiymatining kvadrati  

dV

dW

=

2

ψ

 

ehtimollik zichligini bildiradi. Bu yerda shuni nazarda tutish kerakki, 

ψ

-

funksiyaning  o‘zi  fizik  ma’noga  ega  bo‘lmasdan,  uni  qiymatining 

kvadrati  fizik  ma’noga  ega  bo‘lib, 

2

ψ

ni  haqiqiy 

ψ

  va  mavhum 

ψ

∗

 

funksiyalarining ko‘paytmasi tarzida ifodalanadi: 

∗

⋅

=

ψ

ψ

ψ

2

 

---

 

321

Zarrani V hajm bo‘lagida t vaqtda topilish ehtimolligini hisoblash uchun 

ehtimolliklarni 

qo‘shish 

teoremasiga 

asosan 

V-hajm 

bo‘yicha 

integrallash kerak: 

∫

∫

=

=

V

V

dV

dW

W

2

ψ

 

Agarda zarra haqiqatdan ham mavjud bo‘lsa, uni butun V hajmda bo‘lish 

ehtimolligi  1  ga  teng  bo‘ladi.  Shu  holda 

ψ

  -  funksiya  normallar  deb 

ataluvchi shartni qanoatlantiradi, ya’ni  

1

2

=

∫

+∞

∞

−

dV

ψ

   

 

(19.6) 

bo‘ladi.  Bundan  tashqari  to‘lqin  funksiyaning  fizik  ma’nosidan  kelib 

chiquvchi quyidagi shartlar ham bajarilishi kerak: 

a) 

ψ

-funksiya  chekli  bo‘lishi  kerak,  chunki  mikrozarrani  qayd  qilish 

ehtimolligi birdan katta bo‘la olmaydi; 

b) 

ψ

-funksiya bir qiymatli bo‘lishi kerak, chunki mikrozarrani fazoning 

biror  nuqtasida  qayd  qilish    ehtimolligining  qiymati  bir  nechta  bo‘lishi 

mumkin emas; 

v) 

ψ

-funksiya  uzluksiz  bo‘lishi  kerak,  chunki  mikrozarrani  qayd  qilish 

ehtimolligi sakrashsimon xarakterda o‘zgarmaydi. 

ψ

- funksiyani 1926 yilda Shredinger tomonidan taklif etilgan va 

uning nomi bilan ataladigan tenglama dan yechib topiladi. 

t

i

U

Z

Y

X

m

∂

Ψ

∂

=

+













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

h

h

ψ

ψ

ψ

ψ

2

2

2

2

2

2

2

2

   

(19.7) 

 

Bunda 

m-mikrozarraning 

massasi, 

U-mikrozarraning 

potensial 

energiyasi, 

h

-Plank doimiysi, 

1

−

=

i

- mavhum birlik. 

 

(19.7)  da 

ψ

-funksiyadan  vaqt  bo‘yicha  olingan  hosilali  had 

qatnashayotgani  uchun  uni  vaqt  ishtirok  yetgan  Shredinger  tenglamasi 

deb ataladi. Bu tenglamada mikrozarraga ta’sir etuvchi kuchlar potensial 

funksiya  U(x,  u,  z,  t)  orqali  aks  ettirilgan,  ya’ni  mikrozarra  potensial 

energiyasining  qiymati  fazoning  turli  nuqtalaridagina  emas,  balki 

fazoning ayni nuqtasida ham vaqtning turli onlarida turlichadir. 

 

Lekin  mikrodunyoda  sodir  bo‘ladigan  aksariyat  hodisalarda 

mikrozarraning  potensial  energiyasi  vaqtga  oshkor  bog‘liq  bo‘lmaydi 

(turg‘un  holatlar  uchun).  Bu  holda 

ψ

  -  funksiya  ikkita  ko‘paytuvchiga 

ajralib, biri faqat koordinatalarga, ikkinchisi faqat vaqtga bog‘liq bo‘ladi: 

---

 

322

)

(

)

,

,

(

)

,

,

,

(

t

z

у

х

t

z

у

х

ϕ

ψ

⋅

Ψ

=

 

 

(19.8) 

 

Natijada bir qator matematik amallardan so‘ng (19.7) tenglamani 

quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin: 

0

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

=

Ψ

−

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

U

W

m

z

y

x

h

   

 

(19.9) 

Bu  tenglamada  W  –  mikrozarraning  to‘liq  energiyasi.  (19.9)  ifoda  vaqt 

ishtirok  etmagan  turg‘un  holat  uchun  Shredinger  tenglamasidir.  Kvant 

mexanikasining  ko‘p  masalalarini  yechishda  shu  (19.9)  tenglamadan 

foydalaniladi. 

Differensial 

tenglamalar 

nazariyasidan 

ma’lumki, 

Shredienger tenglamasiga o‘xshash tenglamalar har doim ham yechimga 

ega bo‘lavermaydi. U faqat energiyaning ma’lum bir aniq qiymatidagina 

xususiy  yechimga  ega  bo‘ladi.  Topilgan  W  energiyaning  qiymati 

uzluksiz yoki diskret bo‘lishi mumkin. 

 

Biz  ham  ayrim  masalalarni  yechishda  shu  tenglamaning 

tadbiqlarini ko‘rib chiqaylik.