Физика курси I

Қ' тизимларнинг координата бошлари (0 ва 0' нукталар) устма-уст 
тушган пайтни танлаш қулай. ( = (' = 0 бўлган пайтда координата 
бошида ёруглик учкуни чақнаган деб фараз қилиб, X ва X' ўқлари 
йўналишида ёруғлик фронтининг тарқалиш жараёнини олиб қарай- 
лик. Қ ва Қ' тизимларида ёруғлик тезлиги бир хил бўлганлиги 
туфайли вақтнинг ихтиёрий ( ва (' пайтларида ёруғлик фронтининг 
X ва X' йўналишларидаги координаталари мос равишда:
х = с(\ 
х' = с(' 
(7.3)
тенгликлар билан аниқланадиган нуқталарга етиб боради. Энди
(7.1) ва (7.2) тенгликларнинг чап ва ўнг томонларини мос равишда 
бир-бирига кўпайтирсак,
хх’ = у2 (х' + а(') (х — с()
бўлади. Бу формуладаги х ва х' ларни (7.3) формуладаги с( ва 
с(' орқали ифодаласак
с(-с(' = у2(с(' + с(') (с( — а() = у 2(с + с) (с — в)((',
яъни
С2 = у ( С 2 — V 2 )
тенглик келиб чиқади. Бундан қуйидаги ифодага эга бўламиз:
V = -
1------ 
— ^ = = ; 
(7.4)
V 1 — 
V2/!?
V I — р2
бу ерда 0 =
у
/
с
белгилашни киритдик. (7.4) га асосан (7.1) ва
(7.2) тенгликларни қуйидагича ёзамиз:
х =
х ’
+
VI ’ 
^
2 ’
(7.5)
120
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

х' =
X
— 
VI
(7.6)
л /1 — Э2
Ҳаракат фақат X ва X' ўқлари йўналишида содир бўлаётганлиги 
туфайли бу йўналишга тик бўлган у, у', г, г' координаталар 
аввалигича ўзгармай қолишини, яъни
у = у ', 
г = г' 
(7.6 ,а)
муносабатлар бажарилишини тушуниш қийин эмас.
Энди К инерциал саноқ тизимидан К' тизимга ўтганда вақт (I ва 
/') учун алмаштириш формулаларини топайлик. Бунинг учун
(7.6) даги х' учун топилган ифодани (7.5) формулага қўямиз:
х
(
х — у1
УI — р2
X
— 
VI
+
VI'
V
1
—
р
2
Бу формулани VI' га нисбатан ечамиз:
V I '
= л: д / 1 — р2 -------
у 
V I - ? 2
еки
( 1 — 
V2/ с 2) X
—Д
'.-{-VI
УУ 1-Р2 
’
бинобарин:
/' —+ ~ .+ /- )—. 
(7.7)
' 
л/ • — Э2
Худди шунингдек, (7.5) ва (7.6) тенгликлардан / учун қуйидагига 
эга бўламиз:
/ = — ±Ду/£)+. 
(7.8)
У 1 -р 2
(7.5) — (7.8) формулалар бир-бирига нисбатан ўзгармас тезлик 
билан ҳаракатланаётган тизимлар координаталарини ўзаробоғлайди 
ва улар Лоренц алмаштиришлари дейилади. Умумий кўринишда 
Лоренц алмаштиришлари қуйидагича ёзилади:
х’ + ^(’
х 
У . - Р 2 ’
/ 
, 
/ 
(' + ^/с2-х'
У = У , г = г , 1 = --т, ' - 
;
У >—э2
(7.9)
, 
X— VI
х 
Ў . - Р 2 ’
/ 
, 
,, 
1 — с/сГ ■х
У = У , г =г> 1 =  
, - ^ г -
У . —э2
(7.10)
К' саноқ тизимидан К тизимга ўтиш (7.9) формулалар орқали амалга 
оширилади ва аксинча, К саноқ тизимидан К' тизимга (7.10) форму- 
лалар воситасида ўтилади. (7.9) ва (7.10) формулалардан кўриниб 
турибдики, Лоренц алмаштиришлари координаталар билан бир 
қаторда вактни ҳам ўз ичига олаяпти: координаталарни алмаштириш
121
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

формулаларида вақт иштирок этаяпти, вақтни алмаштириш форму- 
лаларида эса координаталар иштирок этаяпти. Демак, Лоренц 
алмаштиришларида фазо ва вақт бир-бири билан узвий боғлиқ 
бўлиб, уларни алоҳида олиб қараш маънога эга эмас. Бинобарин, 
нисбийлик назарияси бир-бири билан узвий боғланган фазо ва вақт 
ҳақидаги назариядир.
Шуни алоҳида таъкидлаш лозимки, (7.9) ва (7.10) формулалар 
тенг ҳукуқли бўлиб, бир-биридан факат тезлик 
V
нинг олдидаги 
ишора билан фарқ қилади. Бунинг боиси шундан иборатки, К' санок 
тизими К га нисбатан цтезликбилан ҳаракатланаяпти деб каралса, 
К санок тизими К' га нисбатан —
V
тезлик билан чап томонга 
ҳаракатланаяпти деб қараш мумкин.
Лоренц алмаштиришлари V нинг исталган қийматларида ўринли 
бўлиб, Галилей алмаштиришларини инкор этмайди: кичик (о<Сс) 
тезликларда Лоренц алмаштиришлари бевосита Галилей алмашти- 
ришларига ўтади, яъни Галилей алмаштиришлари Лоренц алмашти- 
ришларининг хусусий ҳолидир. Ҳақиқатан ҳам, у < с бўлганда
(7.9) 
ва (7.10) формулаларда квадрат илдиз тагидаги р2 =
= у*/с2 нисбат 1 га нисбатан жуда кичик сонни ташкил килади, яъни 
мазкур нисбат нолга интилгани учун уни ҳисобга олмаслигимиз 
мумкин. У ҳолда Лоренц алмаштиришлари Галилей алмаштиришла- 
рининг ўзи бўлиб қолади.
Пировардида шуни ҳам қайд килайликки, ёруғлик тезлигидан 
катта ( ц > с ) тезликларда (7.9) ва (7.10) формулалардаги х, (, х' ва 
I' катталиклар мавҳум кийматга эга бўлади. Бу натижа бизни шундай 
хулосага олиб келадики, ёруғлик тезлиги (с) табиатда мавжуд 
бўлган тезликларнинг энг каттасидир ва ҳеч кандай тезлик ёруғлик 
тезлигидан катта бўлиши мумкин эмас. Ундан ташқари, ь = с 
бўлганда (маълумки, V — ҳаракатдаги инерциал санок тизимининг 
тинч турган саноқ тизимига нисбатан текис ҳаракат тезлиги) Лоренц 
алмаштиришларидаги х, (, х' ва (' катталиклар чексиз катта қийматга 
эга бўлиши керак, ваҳоланки бундай бўлиши бирор маънога эга эмас. 
Демак, ҳаракатдаги саноқ тизими билан боғланган жисмнинг нисбий 
тезлиги ҳамма вакт ёруғлик тезлигидан кичик бўлади.
7.3- §. ЛОРЕНЦ АЛМАШТИРИШЛАРИДАН КЕЛИБ 
ЧИҚАДИГАН НАТИЖАЛАР
Ньютон механикасида барча инерциал саноқ тизимларида 
воқеалар бир вақтда содир бўлади деб қаралади. Чунки бу механика 
оддий шароитлардаги жараёнларни, яъни ёруғлик тезлигига нисба- 
тан жуда кичик тезликлар билан боғлик жараёнларни акс эттиради. 
Нисбийлик назарияси исталган тезликлар билан боғлиқ бўлган 
жараёнларни ўз ичига олади. Элементар заррачаларнинг ҳаракати ва 
улар иштирокидаги жараёнлар аксарият ҳолларда ёруғлик тезлигига 
якин тезликларда юз беради. Еруғлик тезлигига яқин тезликлар 
билан ҳаракатланаётган элементар заррачалар билан боғлиқ ҳолда 
кечадиган ҳодиса ва жараёнларни биз бевосита идрок эта олмаймиз. 
Шу боисдан нисбийлик назариясидан келиб чиқадиган натижалар
122
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

кундалик ҳаётимизда учрайдиган ҳодисаларга ва оддий шароитда 
ўтказилган тажриба натижаларига зид бўлиб туюлади. Хусусан, 
Лоренц алмаштиришларидан келиб чиқадиган натижалар, яъни"бир 
вақтлиликнинг, жисм ўлчамларининг ҳамда вақт оралиғининг 
нисбийликлари шулар жумласидандир. Қуйида уларни кўриб 
чикамиз.
1. Бир вақтлиликнинг нисбийлиги. Барча инерциал санок 
тизимлари тенг ҳуқукли бўлишига қарамай, уларда содир бўлаётган 
вокеаларнинг бир вактлилиги ва кетма-кетлиги ҳар хилдир. Қ ва 
К' инерциал саноқ тизимларини олайлик ва худди юкоридагидек 
(7.2-§), Қ' саноқ тизими Қ тизимга нисбатан X ўки йўналишида 
ўзгармас V тезлик билан ҳаракатланаётган бўлсин. Тинч турган 
Қ санок тизимининг х\ ва Х