Fizika- matematika fakulteti

3- §.Aniq integralning tatbiqlari
Yuzlarni integrallar yordamida hisoblash.
Masala.Rasmdagi ABCD shakl yuzi S hisoblansin (1-rasm).
Ravshanki, bu shaklning trapetsiyalar yuzlarining ayirmasiga teng:

(1-rasm)
Javob:

1. 
   Formula shartni qanoatlantiradigan uzluksiz funksiyalar uchun to’g’ridir.
   

1-misol. to’g’ri chiziq va parabola bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.

1. 
   va chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:
   
2. 
   tenglamadan
   

Demak, chiziqlar (1;1) , (-2;-2) nuqtalarda kesishadi. Ravshanki, (-2;1) oraliqda funksiya grafigi funksiya grafigidan yuqorida yotadi.(2-rasm).
U holda (1)formulada a=-2, b=1 desak, izlanayotgan yuz (1) ga ko’ra

(2-rasm)

Javob:S=4,5(kv.birlik).
2-misol. chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.

(3-rasm)
kesmada (3-rasm). (1) formulada a=0, b=1,
deymiz.
U holda
Javob:
3-misol.Ellipsning

parametrik tenglamasidan foydalanib uning yuzini toping.
Yechish. Ellips koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib, hamda tenglamada bo‘lganda , bo‘lganligini hisobga olib,

2. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. To‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasida kesmada silliq (ya’ni hosila uzluksiz) bo‘lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi
(5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama

bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi

aniq integral bilan hisoblanadi.
Silliq egri chiziq qutb koordinatalarida tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi
(6)
formula bilan hisoblanadi.