Федеральное агенство по образованию



Download 1,66 Mb.
bet7/33
Sana23.02.2022
Hajmi1,66 Mb.
#172352
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   33
Bog'liq
Ряды Фурье

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения
,
предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.
Замечание. Говорят, что функция , заданная на отрезке , есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на , то есть, если существуют интегралы и .
Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет
,
а его производная запишется в виде
.
Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять
,
откуда следует Поэтому собственные значения параметра равны
,
а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут
. (1.27)
Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке [0, 3/2]:




так как при целых . При этом
.
Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке [0, 3/2].
Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):
, (1.28)
коэффициенты которого вычисляются по (1.24):
. (1.29)
Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим
.
1.7. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений
Рассмотрим применение рядов Фурье к интегрированию обык­новенных дифференциальных уравнений на примере краевой задачи об изгибе балки постоянного поперечного решения, различным образом закреплённой на концах.
Дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде
, (1.30)
где y(x) – прогиб балки в произвольном поперечном сечении с абс­циссой x, – изгибная жёсткость балки (E – модуль упру­гости материала, – момент инерции поперечного сечения).
Пусть поперечная нагрузка на разных участках балки задана в виде (см. рис.1.7)

Рассмотрим два варианта граничных условий.
1). Пусть граничные условия имеют вид:
при ,
(1.31)
при .

(а) (б)
Рис.1.7.
Эти граничные условия соответствуют балке, свободно опёртой на левом конце и жестко защемлённой на правом (см. рис.1.7а).
Решение. Раcкладываем функцию q(x) в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l]
, (1.32)


. (1.33)
Подставляем (1.32) в уравнение (1.30)
(1.34)
и интегрируем это уравнение методом понижения порядка. Интегрируя первый раз
,
получим
.
Аналогично находим
,
.
Вновь разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим общее решение дифференциального уравнения (1.30) в виде:
. (1.35)
Для определения произвольных постоянных С1, С2, С3 и С4 подставляем решение (1.35) в граничные условия (1.31). Из первого условия при x = 0 следует
. (1.36)
Из второго условия при x = 0 находим
.
При x = l из третьего и четвертого граничных условий получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С1 и С2
(1.37)
Разрешая систему (1.37) и учитывая то, что , находим
, . (1.38)
Подставляя значения произвольных постоянных в (1.35), получим решение краевой задачи в виде

или после подстановки и элементарных преобразований

.
При x = l/2 прогиб балки будет

.
Ограничиваясь тремя первыми членами ряда, найдём значение прогиба балки в середине пролета
.
2). Пусть балка свободно опёрта на обоих концах (рис.1.7б). Тогда граничные условия запишутся в виде:
при ,
(1.39)
при .
Решение. Для данного варианта граничных условий искомая функция y(x) может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], равном длине балки:
, (1.40)
так как каждый член ряда (1.40) удовлетворяет всем граничным условиям (1.39).
Подставляя (1.40) в уравнение (1.30), получим
(1.41)
Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], правую часть уравнения (1.41), то есть принимаем
.
При этом коэффициент для заданной нагрузки (см. рис.1.7) будет определяться по формуле (1.33). Подставляя (1.32) в (1.41), получим равенство
,
из которого следует
(1.42)
Из (1.42) с учетом (1.33) неизвестный коэффициент разложения прогиба выразится через известный коэффициент разложения нагрузки по формуле
.
Итак, решение краевой задачи (1.30), (1.39) примет вид
.
В частности, прогиб в середине пролета при x = l/2 и для n = 1 будет равен
.


Download 1,66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   33




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish