Fazoning ortogonal va affin almashtirishlari

ko'chirish deyiladi. Ushbu ko'rinishdagi

almsahtirish O nuqta atrofida burish deyiladi.
Fazoning har bir M(x,y,z) nuqtasiga nuqta mos qo'yilib, uning
koordinatalari M nuqta koordinatalarining chiziqli (birinchi darajali) funksiyalari sifatida ifodalanadigan:
(4)
almashtirishga fazoning affin almashtirishi deyiladi, bunda ushbu determinant:
. (5)
(4) munosabatda qatnashgan parametrlar quyidagi geometrik ma'noga ega:
O' (ai,a₂,a₃) nuqta O(0,0,0) nuqtaning obrazi. ei^r (an,a₂₁,a₃₁) vektor Ox o'qining masshtab vektori e₁(1,0,0) ning obrazi, e₂' (a₁₂,a₂₂,a₃₂)-vektor Oy' o'qining masshtab vektori e₂(0,1,0) ning obrazi e₃' (a₁₃,a₂₃,a₃₃) vektor Oz' o'qining masshtab vektori e₃(0,0,1) ning obrazlari.
Affin almashtirish o'zaro bir qiymatli almashtirishdir. Affin almashtirishda to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa, tekislik tekislikka o'tadi.
Affin almshtirishda to'g'ri chiziqlarning parallelligi, tekisliklarning parallelligi saqlanib qoladi.
Affin almashtirishda bir to'g'ri chiziqda yotgan uchta nuqtaning sodda nisbati saqlanadi, bitta tekislikda yotgan figuralar yuzalarining, shuningdek jism hajmlarining nisbati ham saqlanadi.
Fazodagi barcha nuqtalarni har qanday o'zaro bir qiymatli almashtirish bir to'g'ri chiziqda yotgan nuqtalarning kollinearligini saqlab qolsa, u affin almashtirish bo'ladi, ya'ni bu almashtirsh (4) munosabat bilan ifodlanadi, va shu bilan birga (5) shart bajariladi. Fazoning barcha affin almashtirshlari to'plami gruppa tashkil qiladi.
O'ziga o'zi mos keladigan nuqtalar affin almashtirishning qo'sh nuqtalari deb ataladi. Qo'sh nuqtalarni topish uchun (4) munosabatda (x',y',z') o'rniga (x,y,z) qo'yib, x,y,z ni topish kerak. O'ziga o'zi mos kelgan to'g'ri chiziqqa qo'sh to'g'ri chiziq deb aytiladi.
Affin almashtirishda o'zi o'ziga mos kelgan tekislikka qo'sh tekislik deb aytiladi. To'g'ri burchakli dekart sistemasida

munosabatlar bilan berilgan affin almashtirish Oxy tekislikka nisbatan qisish almashtirishi, son esa qisish koeffitsienti deyiladi.
Affin almshtirish qanday bo'lmasin, o'zaro ortogonal bo'lgan shunday uchta yo'nalish mavjudki, ular bu almashtirishda yana o'zaro ortogonal uchta yo'nalishga o'tadi.
Affin almashtirishda uchta o'zaro ortogonal yo'nalishga mos keladigan uchta o'zaro ortogonal yo'nalish affin almashtirishning bosh yo'nalishlari deb ataladi.
Har qanday affin almashtirish ortogonal almashtirish bilan juft-juft ortogonal bo'lgan uchta tekislik yo'nalishlaridagi qisilish ko'paytmasidan iborat.
Hech bo'lmaganda bitta qo'zg'almas nuqtaga ega bo'lgan affin almashtirish markaziy affin almashtirish deyiladi.
Qo'zg'almas nuqtaning koordinatalar boshi sifatida qabul qilsak, affin almashtirish quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

Jismlar hajmi saqlanadigan affin almashtirish ekviaffin almashtirish deyiladi. (4) almashtirish ekviaffin bo'lishi uchun, ushbu munosabatning bajarilishi zarur va yetarli:

Agar

shart bajarilsa jismlarning ham hajmi, ham fazo oriyentatsiyasi saqlanadi. Bunday almashtirish unimodulyar almashtirish deyiladi.
Affin almshtirishda shunday noldan farqli vektor topilib, bu almashtirishda u o'ziga kollinear vektorga o'tsa, bu vektor affin almashtirishni xos vektori deyiladi. Agar vektor affin almashtirshning xos vektori bo'lsa, ya'ni vektor ning obrazi bo'lsa, son vektorga mos kelgan xos qiymat deyiladi.
Affin almashtirish xos vektorining (l,m,n) koordinatalari quyidagi tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.

bu yerda son ushbu

tenglamaning yechimidir. Bu tenglama xarakteristik tenglama deb ataladi. Tenglamaning yechimi xos vektorning xos qiymatidir. Dekart sistemasiga nisbatan berilgan

markaziy affin almsahtirish uchun matritsa simmetrik, ya'ni

bo'lsa, bunday markaziy affin almashtirish simmetrik almashtirish deb ataladi.
Har bir simmetrik markaziy affin almshtirish uchta o'zaro ortogonal xos vektorga ega va aksincha, biror markaziy affin almashtirish o'zaro ortogonal uchta vektorga ega bo'lsa, bu almashtirish simmetrik almashtirish bo'ladi.
Ikkinchi tartibli barcha sirtlar to'plami 17 sinfga ajraladi. Ikkinchi tartibli ikkita sirtning birini biror affin almashtirish natijasida ikkinchisiga o'tkazish mumkin bo'lsa, ular bitta affin sinfga tegishli bo'ladi. Affin almashtirishda
diametr, diametrial tekislik, markaz, asimptotik konus, sirtning urinma tekisligi mos ravishda yana diametrga, diametrial tekislikka markazga, asimptotik konusga, urinma tekislikka o'tadi.
Affin almashtirishda qo'shmalik munosabatlari saqlanadi: agar n tekislik
П sirtning a vektorga parallel vatarlariga qo'shma bo'lsa, u holda tekislik
sirtning vektorga parallel bo'lgan vatarlariga qo'shma bo'ladi, bu yerda
tekislik tekislikning obrazi, esa П sirtning obrazi, vektor a vektorning obrazi.
Agar p diametr П sirtning tekislikka parallel bo'lgan kesimlariga qo'shma bo'lsa, diametr sirtning tekislikka parallel kesimlariga
qo'shma bo'ladi, bu yerda tekislik tekislikning obrazi.