Fazoda tekislik tenglamalari

Misol: M (1,-2,3) nuqtadan o’tib n-2,0,4vektorga perpendikulr bo’gan tekislik tenglamasini to’zing. Yechish: Berilishiga ko’ra, A=2, B=0, C=4. (2) formulaga ko’ra 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 ga ega bo’lamiz. Buni soddalashtirib izlangan tenglamani topamiz: x+2z-7=0 Tekislikning fazodagi vaziyatlari Tekislikning ushbu Ax+By+Sz+D=0 (3) ko’rinishdagi umumiy tenglamasini qaraymiz. Bu yerda A, B, C, Dlar istalgan haqiqiy sonlar bo’lib, A, B, C larning aqalli bittasi noldan farqli bo’lishi kerak. Agar A, B, C, D larning barchasi noldan farqli bo’lsa (3) tenglama to’liq deb ataladi. Agar bularning birortasi nolga teng bo’lsa, uni to’liqsiz tenglama deb ataladi. To’liqsiz tenglamalarning mumkin bo’lgan barcha ko’rinilarini qaraymiz va ularning koordinatlar sistemasiga nisbatan joylashishdagi xususiyatlarini anqilaymiz. 1. Agar (3) tenglamadagi ozod had D=0 bo’lsa, tenglama Ax+By+Cz=0 ko’rinishga keladi va bu tenglama koordinatalar boshidan o’tgan tekislikni tasvirlaydi

• Misol: M (1,-2,3) nuqtadan o’tib n-2,0,4vektorga perpendikulr bo’gan tekislik tenglamasini to’zing. Yechish: Berilishiga ko’ra, A=2, B=0, C=4. (2) formulaga ko’ra 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 ga ega bo’lamiz. Buni soddalashtirib izlangan tenglamani topamiz: x+2z-7=0 Tekislikning fazodagi vaziyatlari Tekislikning ushbu Ax+By+Sz+D=0 (3) ko’rinishdagi umumiy tenglamasini qaraymiz. Bu yerda A, B, C, Dlar istalgan haqiqiy sonlar bo’lib, A, B, C larning aqalli bittasi noldan farqli bo’lishi kerak. Agar A, B, C, D larning barchasi noldan farqli bo’lsa (3) tenglama to’liq deb ataladi. Agar bularning birortasi nolga teng bo’lsa, uni to’liqsiz tenglama deb ataladi. To’liqsiz tenglamalarning mumkin bo’lgan barcha ko’rinilarini qaraymiz va ularning koordinatlar sistemasiga nisbatan joylashishdagi xususiyatlarini anqilaymiz. 1. Agar (3) tenglamadagi ozod had D=0 bo’lsa, tenglama Ax+By+Cz=0 ko’rinishga keladi va bu tenglama koordinatalar boshidan o’tgan tekislikni tasvirlaydi

2. A=0. Bu holda By+Cz+D=0 tenglama Ox o’qiga paralel bo’lgan tekislikni tasvirlaydi. (chunki bu tekislikning normal vektori N ={o, B, C} Ox o’qiga perpendikulyar bo’ladi). 3. B=0. Bu holda Ax+Cz+D=0 tenglama hosil bo’ladi u Oy o’qiga paralel bo’lgan tekislikni ifodalaydi (chunki uning normal vektori N ={A; O; C} Oy o’qiga perpendikulyar). 4. C=0. Bu holda, Ax+Cz+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz va u 0z o’qiga paralel tekislik tenglamasi bo’ladi (chunki uning normal vektori N {A; B; O} oz o’qiga perpendikulyardir). 5. A=0, B=0. Bu holda, Cz+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama Oxy tekislikka paralel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislikk Ox va Oy o’qlarga paralel bo’ladi). 6. A=0, C=0. Bu holda By+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz va u Oxz tekisligiga paralel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislik Ox va Oz o’qlarga paraleldir). 7. B=0, C=0. Bu holda Ax+D=0 tenglama hosil bo’ladi va u Oyz tekisligiga pararlel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislik oy va oz o’qlarga paraleldir).

• 2. A=0. Bu holda By+Cz+D=0 tenglama Ox o’qiga paralel bo’lgan tekislikni tasvirlaydi. (chunki bu tekislikning normal vektori N ={o, B, C} Ox o’qiga perpendikulyar bo’ladi). 3. B=0. Bu holda Ax+Cz+D=0 tenglama hosil bo’ladi u Oy o’qiga paralel bo’lgan tekislikni ifodalaydi (chunki uning normal vektori N ={A; O; C} Oy o’qiga perpendikulyar). 4. C=0. Bu holda, Ax+Cz+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz va u 0z o’qiga paralel tekislik tenglamasi bo’ladi (chunki uning normal vektori N {A; B; O} oz o’qiga perpendikulyardir). 5. A=0, B=0. Bu holda, Cz+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama Oxy tekislikka paralel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislikk Ox va Oy o’qlarga paralel bo’ladi). 6. A=0, C=0. Bu holda By+D=0 tenglamaga ega bo’lamiz va u Oxz tekisligiga paralel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislik Ox va Oz o’qlarga paraleldir). 7. B=0, C=0. Bu holda Ax+D=0 tenglama hosil bo’ladi va u Oyz tekisligiga pararlel tekislikni ifodalaydi (chunki bu tekislik oy va oz o’qlarga paraleldir).

• 8. A=0, B=0, D=0. Bu holda tenglama Cz=O ko’rinishda bo’ladi va u oxy koordinata tekisligini ifodalaydi (chunki bu teksilik Oxy tekislikka paralel va koordinati boshidan o’tadi). 9. A=0, C=0, D=0. Bu holda tenglama By=0 ko’rinishda bo’lib Oxz koordinat tekisligini ifodalaydi (chunki bu tekislik Oxz tekislikka paralel va koordinata boshidan o’tadi). 10. B=0, C=0, D=0. Bu holda tenglma Ax=0 ko’rinishda bo’ladi u Oyz koordinatalar tekisligini ifodalaydi (chunki bu tekislik Oyz tekislikka paralel va koordinata boshidan o’tadi). Misol. M1(1;2;-3) va M2(4;2;1) nuqtalar 2x+3y-5z- 23=0 tekislikda yotadimi? Yechish: Nuqtaning tekislikda yotishi uchun uning koordinatalari shu tekislik tenglamasini qanoatlantirishini tekshirish kerak. Bu yerda 2 1+3 2-5(-3)-23=0 2 4+3 2-5 1-23=-140 Demak, M1nuqta tekislikda yotadi, M2 esa yotmaydi.