Fazoda analitik geometriya elementlari

3. Berilgan nuqtadan berilgan tekislikgacha masofa
R₃ fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi kiritilgan bo`lib, berilgan M<sub>0</sub> nuqtadan umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) tekislik orasidagi d masofani topish masalasi qo`yilgan bulsin.
r<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) vektor M<sub>0</sub> nuqtaning radius vektori va r(x, y, z) vektor esa tekislikning ixtiyoriy M nuqtasi radius vektori bo`lsin. d masofa r₀ – r vektorning a yoki ν vektordagi sonli proeksiyasining absolut qiymatiga teng: d = |Pr_ν(r₀–r)|. Masofani hisoblash formulasi vektor ko`rinishda yoki tekislikning normal tenglamasi parametrlari orqali yozilishi mumkin (13-mavzuga qarang). Tekislikning umumiy tenglamasi parametrlari orqali esa

ko`rinishda yoziladi.
Masala. (-1, 4, -3) nuqtadan x+2y–2z+5=0 tekislikgacha bo`lgan masofani toping.
Nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani hisoblash formulasiga binoan:
( bir.).


Fazoda to`g`ri chiziq
To`g`ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik va parallellik shartlari
Fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) nuqta va nolmas a(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) radius vektor berilgan bo`lsin. M₀ nuqtadan a vektorga parallel L to`g`ri chiziq o`tkazamiz. M(x, y, z) nuqta L to`g`ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi va r(x, y, z) vektor uning radius vektori, r<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) vektor esa berilgan M<sub>0</sub> nuqtaning radius vektori bo`lsin. r–r₀ vektor L to`g`ri chiziqda yotgani uchun berilgan a vektorga kollineardir:
r - r₀ = t a (1)
(1) tenglamada t ixtiyoriy haqiqiy son bo`lib, parametr deyiladi. Agar t parametr haqiqiy sonlar o`qida turli son qiymat qabul qilsa, r = r₀ + t a vektor oxiri L to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qiladi (1-rasm). (1) tenglamaga fazoda berilgan nuqtadan berilgan vektor yo`nalishida o`tuvchi to`g`ri chiziqning vektor tenglamasi deyiladi.

1-rasm.
Koordinatalarda (1) tenglama quyidagi uchta tenglamalarga ajraladi:

(2)
(2) tenglamalarga to`g`ri chiziqning parametrli tenglamalari deyiladi. Agar (2) sistemada t parametr yo`qotilsa, quyidagi qo`sh tenglama hosil bo`ladi:
(3)
(3) ko`rinishdagi tenglamaga fazoda to`g`ri chiziqning kanonik ko`rinishdagi tenglamasi deyiladi. (3) tenglamada a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> sonlardan ixtiyoriy biri yoki ikkitasi nolga teng bo`lishi mumkin.
Ushbu hollarda, qulayligi uchun maxrajlarda bir yoki ikkita nollar yozish qabul qilingan bo`lib, yozuv shartli tus oladi. (3) tenglama fazoda M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, u<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) nuqtadan o`tib, a(a₁, a₂, a₃) vektorga parallel to`g`ri chiziqni aniqlaydi.
Masala. Koordinatalar fazosida (2, -3, 1) nuqtadan o`tib, (-1, 0, 4) vektorga parallel bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasini tuzing.
To`g`ri chiziqning kanonik ko`rinishdagi tenglamasi, (3) tenglamaga binoan,

shaklda bo`ladi. Ushbu tenglamalar o`z navbatida quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:

Shunday qilib, qaralayotgan to`g`ri chiziq z = - 4x+7 va y= -3 tekisliklarning umumiy kesishish to`g`ri chizig`idan iborat.
Fazoda ikki tekislik o`zlarining umumiy
A₁x + B₁ y + C₁z +D₁ = 0 (T₁) va A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (T₂)
ko`rinishdagi tenglamalari bilan berilgan bo`lsin.
Agar munosabatlar o`rinli bo`lsa, T₁ va T₂ tekisliklar turli o`zaro parallel tekisliklarni aniqlaydi. Agar munosabatlar bajarilsa, T<sub>1</sub> va T<sub>2</sub> tekisliklar ustma – ust joylashadi, ya`ni berilgan tenglamalar teng kuchli bo`lib, aynan bir tekislikni aniqlaydi. Qolgan barcha hollarda tekisliklar to`g`ri chiziq bo`ylab kesishadi. Berilgan tekisliklar umumiy tenglamalaridan tuzilgan
(4)
sistema aynan to`g`ri chiziqni aniqlashi uchun
matritsa rangining 2 ga teng bo`lishi zarur va yetarlidir. Yoki xuddi shuning o`zi, quyidagi ikkinchi tartibli
, ,
aniqlovchilardan birining noldan farqli bo`lishi kifoya.
Aniqlik uchun ulardan birinchisi noldan farqli bo`lsin. Unda (4) tenglamalar sistemasini x va y ga nisbatan yechish mumkin:

Yuqoridagi tenglamalar sistemasi esa, quyidagi

tenglamalarga teng kuchli, bu yerda, α, β, μ va ν ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Haqiqatdan ham, ushbu tenglamalar fazoda (μ, ν, 0) nuqtadan o`tib, (α, β, 1) vektorga parallel to`g`ri chiziqni aniqlaydi.
Asosiy matritsasi rangi 2 ga teng bo`lganda, (4) ko`rinishdagi teng-lamalar sistemasiga fazoviy to`g`ri chiziqning umumiy shakldagi tengla-malari deyiladi.
Masala. 0u ordinata o`qining kanonik shakldagi tenglamalarini tu-zing.
0u o`qi x0u va u0z koordinata tekisliklari kesishmasidan iborat:
yoki
Oxirgi tenglamalar sistemasini shartli ravishda ko`rinish-da yozish mumkin. Haqiqatdan ham, 0u o`qi (0, 0, 0) nuqtadan o`tib, j(0, 1, 0) vektor yo`nalishidagi to`g`ri chiziqdir.