Farg`ona politexnika instituti

FARG`ONA POLITEXNIKA INSTITUTI.

YENGIL SANOAT VA TO`QIMACHILIK FAKULTETI 85-21 GURUH TALABASI SHAKAROV DAVRONING OLIY MATEMATIKADAN MUSTAQIL ISHI.

MAVZU:ANIQ INTEGRALNING GEOMETRIK TATBIQLARI.

O`QITUVCHI:RAJABOV.K

REJA:

• 1.Aniq integral.
• 2.Aniq integralning tatbiqlari .
• 3. Aniq integralning geometrik tatbiqi.

• Ta’rif. f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiyaning b va a nuqtalardagi qiymatlarning F(b) – F(a) ayirmasi shu funksiyasining a dan b gacha aniq integrali deyiladi. Aniq integralning xossalari. Aniq integralning bevosita uning ta’rifidan kelib chiqadigan ayrim xossalarni keltiramiz, bunda f(x) funksiya qaralayotgan [a;b] kesmada boshlang’ich funksiyaga ega deb hisoblanadi. 1. Integrallash chegaralari almashtirilganda aniq integral ishorasi o’zgaradi:

• 2. A ning har qanday qiymati uchun tenglik o’rinli. 3. Agar [a; b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda bu kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha aniq integrallar yig’indisiga teng. Xususan, a < c < b bo’lsa, u holda 4.O’zgarmas ko’payturuvchining aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar k – cons t bo’lsa u holda 5.Bir nechta funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali qo’shiluvchilar aniq integrallarning yig’indisiga teng:

• Ta’rif: f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo’lsin. U holda bu funksiya har qanday [a;x] [a;b] da integrallanuvchi bo’ladi va integral x ning [a;b]dagi har bir qiymatiga aniq bir sonni mos qo’yadi.
• Demak, bu holda integral o’zining yuqori chegarasining funksiyasi bo’ladi: Geometrik nuqtayi nazardan f(t) ≥0 bo’lganda Ф(x) funksiya 1- rasm dagi egri chiziqli trapetsiyaning bo’yalgan qismining yuzini bildiradi.

• niq integrallarni integral yig’indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko’p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo’llaniladi. Aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnis formulasini kash etilishi aniqintegralni qo’llanish ko’lamini kengayishiga asosiy sabab bo’ldi. 2-teorema. Agar F(x) funksiya uzluksiz f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi boshlangich funksiyasi bo’lsa, u holda aniq integral boshlang’ich funksiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng.

• Isbot. Shartga ko’ra F(x) funksiya f(x) ning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. Ф(x)= funksiya ham f(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lganligi uchun Ф(x)= F(x)+C yoki x=a desak 0=F(a)+C, C=-F(a). Demak, . Endi x=b desak, Nyuton-Leybnis formulasini hosil qilamiz: F(b)-F(a)= belgilash kiritilsa Nyuton-Lelbnis formulasi ko’rinishiga ega bo’ladi.

• 1. Figuralar yuzalarini Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash.a) Avvalgi o’tilgan mavzulardan ma’lumki, agar [a,b] kesmada funksiya bo’lsa u holda  egri chiziq, OX o’qi va x=a hamda x=b to’gri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
•  (4)
• ga teng bo’ladi. Agar [a,b] kesmada bo’lsa, u holda aniq integral  bo’ladi.

• Absolyut qiymatiga ko’ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng:
•  (4)
• y y=f(x)
• 0 a b x
• 1-rasm

• Agar funksiya [a,b] kesmada ishorasini chekli son marta o’zgartirsa, u holda integralni butun [a,b] kesmada qismiy kesmada qismiy kesmachalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz.
• bo’lgan kesmalarda integral musbat, bo’lgan kesmalarda integral manfiy bo’ladi. Butun kesma bo’yicha olingan integral OX o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli algebraic yig’indisini beradi (1-rasm). Yuzlar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan kesmalar bo’yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig’indisini topish yoki

• Integralni hisoblash kerak.
• b) Agar egri chiziqlar hamda x=a va x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo’lsa, u holda shart bajarilgan figuraning yuzi qo’yidagiga teng:
•  (5)
• 1-misol. Y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda 

•  Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi  tenglamalari parametric shaklda berilgan chiziq bilan chegaralangan bo’lsa, bunda bu tenglamalar [a, b] kesmadagi biror funksiyani aniqlaydi, bunda U holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi formula bo’yicha hisoblanishi mumkin bo’ladi. Bu integralda o’zgaruvchini almashtiramiz.