Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

1.1-misol. tenglamani yeching
Avvalo berilgan chiziqli tenglamaga mos kelgan
(1.2.7)
bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
. (1.2.8)
Berilgan chiziqli tenglamani yechish uchun (1.2.8) formulada o‘zgarmasni variatsiyalaymiz, ya’ni deb olamiz, va
(1.2.9)
funksiyadan chiziqli tenglamani qanoatlantirishini talab qilamiz:

ya’ni . Bundan kelib chiqadi, bu yyerda -yangi ixtiyoriy o‘zgarmas. ning topilgan ifodasini (1.2.9) formulaga qo‘yib, dastlabki berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topamiz: .
1.2-misol. tenglamaning nuqtadan o‘tuvchi yechimini toping. funksiya berilgan tenglamaning yechimi emasligi aniq, shuning uchun tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz. Bu chiziqli tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamani yechamiz. Uning umumiy yechimi bo‘ladi. Ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usulini qo‘llaymiz. Natijada tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan ni topamiz: . Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda topiladi.
Endi tenglamaning nuqtadan o‘tadigan echimini topamiz. Buning uchun umumiy yechimning yuqorida olingan formulasida deb olib, ni topamiz. U holda , ya’ni xususiy yechim topiladi.
1.3-misol. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning ikkita har xil va yechimlari berilgan. Shu yechimlar yordamida tenglamaning umumiy yechimini yozing.
Ma’lumki, chiziqli differensial tenglama
(1.2.10)
umumiy yechimga ega, bu yerda
.
Masalaning shartiga ko‘ra, (1.1.11) dan
(1.2.11)
kelib chiqadi, bu yyerda va - chiziqli tenglamaning va yechimlariga mos kelgan o‘zgarmaslar. So‘ngra, (1.2.11) tengliklardan foydalanib, va funksiyalarni va yechimlar orqali ifodalaymiz:
.
va funksiyalarning ifodalarini (1.2.12) ga qo‘yib, topamiz:

bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas.