Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

2.1-misol. Ushbu

_{bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining yechimi topilsin.}
Yechish: Avvalo berilgan differensial tenglamalar sistemasining matritsasini tuzib olamiz:
.
<sub>Bu matritsaning xos qiymatlarini va xos vektorlarini topamiz. Buning uchun ushbu


tenglamani qaraymiz. Oxirgi tenglamani koordinatlarda yozamiz:</sub>


Ma’lumki bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun, uning asosiy diterminantining nolga teng bo‘lishi zarur va etarli.
Shuning uchun

Oxirgi kvadrat tenglamani echib, , matritsaning xos qiymatlarini topamiz. Endi xos qiymatga mos keluvchi

_{xos vektorni topamiz. Ushbu}

sistemasidan ya’ni xos vektorni topamiz.
xos qiymatga mos keluvchi xos vektorni topish uchun ushbu

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan ya’ni xos vektorni topamiz. Endi berilgan differensial tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimini quyidagicha yozish mumkin:


,
ya’ni
_,
,
bunda ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
_{2.2-misol. Ushbu}

differensial tenglamalar sistemasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan sistemaning koeffisientlaridan

matritsa tuzib, uning xos qiymatlarini hamda xos vektorlarini topamiz:

,

.
, xos qiymatlarni topib olamiz. Endi ga mos keluvchi xos vektorni topish bilan shug‘ullanamiz:

Bunda deb, ni topamiz. Bu holda xos vektor

ko‘rinishida bo‘ladi. Bu xos qiymatga berilgan sistemaning

_{ko‘rinishidagi xususiy yechimi mos keladi. Bu xususiy yechimning haqiqiy va mavhum qismlari ham berilgan differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimlari bo‘ladi:}




-ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
<sub>2.3-misol. Ushbu

bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffitsientlaridan

matritsani tuzib olamiz va uning xos qiymatlarini hamda xos vektorlarini hisoblaymiz. Buning uchun

tenglamani qaraymiz va uni koordinatalarda yozib quyidagi.

sistemani hosil qilamiz. Bundan

bir jinsli tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Ma’lumki bir jinsli sistema nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun, uning asosiy diterminantining nolga teng bo‘lishi zarur va etarli. Shuning uchun</sub>


xarakteristik tenglamani echib karrali xos qiymatni topamiz.
Endi xos qiymatga mos keluvchi -xos vektorni aniqlaymiz: bo‘lgani uchun

tenglamadan deb , ya’ni

xos vektorni topamiz.
Nihoyat karrali xos qiymatga mos keluvchi yopishgan(ergashgan)
vektorni topamiz. Buning uchun ushbu

tenglamani qaraymiz. Bu bir jinslimas tenglamani koordinatalarda yozamiz:

Bunda deb , ya’ni

yopishgan vektorga ega bo‘lamiz.
<sub>Yuqoridagi mulohazalar asosida berilgan differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimlari


ko‘rinishida bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Demak berilgan sistemaning ixtiyoriy yechimi</sub>


ko‘rinishida bo‘lar ekan. Bunda -ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
_{2.4-misol. Quyidagi}

differensial tenglamalar sistemasining yechimi topilsin.
Yechish. Berilgan sistemaning koeffitsientlaridan

_{matritsani tuzib, uning xos qiymatlarini va xos vektorlarini topamiz. Buning uchun ushbu}

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani koordinatalarda yozib


bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ma’lumki bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun, uning asosiy diterminanti nolga teng bo‘lishi zarur va etarli. Shuning uchun
,
xarakteristik tenglamani echib , xos qiymatlarni topib olamiz. So‘ngra , xos qiymatga mos keluvchi xos vektorni topamiz. Buning uchun ushbu

sistemaning yechimini topamiz. Bunda bo‘lgani uchun quyidagi

sistemada deb, larni quyidagi

sistemadan topamiz: . Demak xos qiymatga xos vektor mos kelar ekan. Bu xos qiymatga mos keluvchi berilgan differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimi

ko‘rinishida bo‘ladi.
Endi xos qiymatga mos keluvchi

xos vektorni topamiz:

Bunda , deb topamiz. xos qiymatga

xos vektor mos keladi. Endi ushbu

vektorni tekshiraylik

Demak, vektor ham karrali xos qiymatga mos keluvchi xos vektor bo‘lar ekan. Endi ushbu
,
munosabatni qaraylik.

.
Demak, vektorlar chiziqli erkli ekan. Bu holda yopishgan vektor xos vektor bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun


vektor-funksiyalar berilgan differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimlari bo‘ladi. Ushbu

vektor funksiya berilgan sistemaning umumiy yechimini beradi. Bunda .
XULOSA

Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, matematik analiz kursida funksiya va uning limitini hisoblashda ham imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan maqsad esa funksiya va uning limitini hisolashda fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib funksiya va uning limitini hisoblashda ularni qo’llashdan iborat.

Kurs ishida matritsa ko’rinishidagi chiziqli tenglamalar sistemasi, Koshi integrali formulasi o’rgandim.
Birinchi bоbda differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar, ixtiyoriy o‘zgarmasni variatsiyalash usuli va ularni yechish usullari misollar orqali o’rganildi.
Ikkinchi bоbda matritsa ko’rinishidagi chiziqli tenglamalar sistemasi, rezonans bo‘lmagan hol, rezonans bo‘lgan hol haqida ma’lumotlar berilgan va misollar yechilgan.
Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan differentsial tenglamalar va matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanaman.