Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

II BOB
MATRITSA KO’RINISHIDAGI CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI


2.1-§. Rezonans bo‘lmagan hol

Bir jinsli bo‘lmagan ushbu

(2.1.1)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu yerda darajasi ga teng bo‘lgan
(2.1.2)
ko‘rinishdagi vektor-ko‘phad, o‘zgarmas vektorlar, .
Quyidagi ikki hol bo‘lishi mumkin.
1. Rezonansmas hol. ( soni ushbu xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmagan, ya’ni hol).
Agar soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda (2.1.1) differensial tenglamalar sistemasi
(2.1.3)
ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bunda , -darajali ko‘phad.
ko‘phadni quyidagi
(2.1.4)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda -noma’lum o‘zgarmas vektorlar. (2.1.1) va (2.1.3) munosabatlardan

tengliklarni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikki tamonini ga bo‘lib ushbu
(2.1.5)
munosabatni topamiz. Avvalo (2.1.5) tenglikni quyidagi
(2.1.6)
ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra bu tenglikning ikki tomonidagi darajalar oldidagi mos koeffitsientlarni tenglashtirsak,
,
, (2.1.7)
,
tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi.
Shartga ko‘ra bo‘lgani uchun teskari matritsa mavjud. Shuning uchun (2.1.7) sistemaning birinchi tenglamasidan
(2.1.8)
noma’lumni, ikkinchisidan esa
(2.1.9)
noma’lumni topamiz. Bu jarayonni davom qildirib noma’lum vektorlarning barchasini topish mumkin.


2.2-§. Rezonans bo‘lgan hol

Aytaylik soni xarakteristik tenglamaning ildizi, ya’ni bo‘lsin. Bundan tashqari matritsa faqat oddiy xos qiymatlarga ega bo‘lsin. U holda (2.1.1) differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimi

(2.2.1)
ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda darajali vektor-ko‘phad. Avvalo ushbu

almashtirishdan foydalanib (2.1.1) sistemani
_(2.2.2)
ko‘rinishga keltiramiz. Bu ko‘phad ning mos komponentasi. Bu tenglamalarning har biri uchun xususiy yechimni

ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda darajali ko‘phad.