|
1-misol. Ushbu
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni = (2; 2) deb olib, uning aniq yechimi = (1; 1) ni Broyden usuli yordamida aniqlang.
Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi yaqinlashishlarni quyidagi jadval shaklida ifodalaylik:
K
|
xk
|
yk
|
|
0
|
2,000000000
|
2,000000000
|
1,414213562
|
1
|
1,694513211
|
0,889023252
|
0,703323850
|
2
|
1,532940994
|
0,835742461
|
0,557679695
|
3
|
1,330935487
|
0,770464391
|
0,402746685
|
4
|
1,251500757
|
0,804076528
|
0,318808151
|
5
|
1,139841409
|
0.866849425
|
0.193092452
|
6
|
1.087198127
|
0.913245001
|
0.123003835
|
7
|
1.039140157
|
0.958904664
|
0.056751903
|
8
|
1.016525113
|
0.982554663
|
0.024029547
|
9
|
1.003700722
|
0.996037640
|
0.005421774
|
10
|
1.000537288
|
0.999428320
|
0.000784536
|
11
|
1.000005832
|
0.999993444
|
8.774735736E-6
|
12
|
1.000000808
|
0.999999157
|
1.167386327E-6
|
13
|
0.999999806
|
1.000000202
|
2.795316564E-7
|
14
|
1.000000000
|
1.000000000
|
3.994662952E-10
|
Jadvaldan ko’rinadiki, bu misolning natijasiga Nyuton usuli bilan 8 qadamda erishilgan edi. Bu esa Broyden usulining iteratsiya tezligi Nyuton usulinikidan past ekanligini ko’rsatadi. Shunga qaramasdan, Broyden usuli ommabop bo’lib, hisoblash amaliyotida keng qo’llanilib kelinmoqda.
Tezkor tushish usuli (Gradiyent usuli)
Yuqoridagi (1.1) tenglamalar sistemasini qaraymiz. Faraz qilaylik, funksiyalar
o’zlarining umumiy aniqlanish sohasida haqiqiy va uzluksiz differensiallanuvchan
quyidagi funksiyani qaraymiz:
.
Ravchanki, (1.1) sistemaning har bir yechimi funksiyani nolga aylantiradi, va aksincha funksiya nolga teng bo’ladigan sonlar (1.1) sistemaning ildizlari.
Faraz qilamizki, (1.1) sistema izolyatsiyalangan yechimgagina ega bo’lib, bu yechim funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo’lsin. Bu bilan masala n o’lchovli fazoda funksiyaning minimumini topishga olib kelinadi.
Faraz qilaylik, (1.1) sistemaning vektor-ildizi, esa uning boshlang’ich yaqinlashishi bo’lsin. nuqta orqali funksiyaning sath sirtini o’tkazamiz. Agar nuqta x ildizga yetarlicha yaqin bo’lsa, u holda bizning farazimiz bo’yicha sath sirti ellipsoidga o’xshash.
nuqtadan boshlab sirt normali bo’ylab harakatlanib, bu harakatni shu normal qaysidir boshqa bir sath sirtiga biror nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz. Keyin yana nuqtadan harakatni sath sirti bo’ylab davom ettirib, bu harakatni shu normal boshqa bir yangi sath sirtiga biror nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz va hokazo. Vaholanki, bo’lsa, u holda biz shu yo’l bilan harakatlanib, ning (1.1) sistemaning izlanayotgan x ildiziga mos keluvchi eng kichik qiymatli nuqtasiga tezkor yaqinlashib boramiz. Ushbu – tuzilga funksiyaning gradiyenti belgilashini kiritib, vektorli uchburchaklardan quyidagini yozamiz:
, .
Endi ko’paytuvchini aniqlash qoldi. Buning uchun quyidagi skalyar funksiyani qaraymiz:
.
Bu funksiya funksiya sathining nuqtadagi sath sirtiga o’tkazilgan normalga mos keluvchi o’zgarishini beradi. ko’paytuvchini shunday tanlash lozimki, funksiya minimumga erishsin. Bu funksiyadan bo’yicha hosila olib, uni nolga tenglashtiramiz. Unda quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
. (1.3.2)
tenglamaning eng kichik musbat ildizi bizga ning qiymatini beradi. Endi sonni taqribiy topish usulini qarab chiqaylik. Faraz qilamizki, kichik parametr bo’lib, uning kvadrati va undan yuqori darajalarini e’tiborga olmaslik mumkin. U holda quyidagiga kelamiz:
.
funksiyani ning chiziqli hadlarigacha aniqlikdagi darajalariga yoyib, quyidagiga ega bo’lamiz:
,
bu yerda .
Bulardan
.
Natijada,
bu yerda vektor-funksiya ning Yakob matritsasi.
Yuqoridagilardan quyidagi tenglikka kelamiz:
.
Bu yerdan esa
bu yerda transponirlangan Yakob matritsasi.
Shularga ko’ra quyidagi natijaga kelamiz:
,
bu yerda soddalik uchun quyidagicha yozuv qabul qilingan:
; ,
|
|
1.3.1-chizma Gradiyent usuli algoritmining blok-sxemasi.
|
bularga ko’ra
, . (1.42)
Gradiyent usuli algoritmining blok-sxemasi 1.3.9-rasmda tasvirlangan.
1-misol. Tezkor tushish usili (gradiyent usuli) yordamida ushbu
,
tenglamalar sistemasining koordinata boshi atrofida yotgan ildizlarini taqribiy hisoblang.
Yechish Berilganlarga ko’ra
, , .
(1.3.1) va (1.3.2) formulalar bo’yicha quyidagi birinchi yaqinlashishni olamiz:
, .
Xuddi shunday - ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz. Bu yerdan:
, , .
, .
.
Natijaning qanchalik to’g’ri va aniq ekanligini tekshirish uchun tafovut hisoblaniladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
