Фан буйича билим,куникма ва малакага куйиладиган талаблар

7-MA’RUZA. ELEMENTAR OQIMCHA VA REAL SUYUQLIKLAR OQIMI UCHUN BERNULLI TENGLAMASI.


REJA:
7.1. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.
7.2. Bernulli tenglamasining geometrik, energetik va fizik mazmunlari.
7.3. Real suyuqliklar elementar oqimchasi uchun Bernulli tenglamasi.
7.4. Real suyuqliklar oqimi uchun Bernulli tenglamasi.
7.1. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi
Yuqorida keltirilgan Eyler va Nave-Stoks tenglamalar sistemalarini yechish yo`li bilan suyuqlik harakatlanayotgan fazoning har bir nuqtasidagi tezlik va bo simni topish mumkin. Lekin bu sistemalarni yechish katta qiyinchiliklar bilan amalga oshiriladi, ko`p hollarda esa hatto yechish mumkin emas. Shuning uchun gidravlikada, ko`pincha, o`rtacha tezlikni topish bilan chegaralanishga to`g`ri ke ladi. Buning uchun, odatda, Bernulli tenglamasidan foydalaniladi. Biz bu yerda Bernulli tenglamasini ikki xil usulda chiqarishni ko`rsatamiz.
. Endi Eyler tenglamasidan foydalanish yo’li bilan elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasini chiqaramiz. Buning uchun (6.10.) tenglamalar sistemasidagi birinchi tenglamani dx ga, ikkinchisini dy ga va uchinchisini dz ga ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni qo’shamiz. Natijada quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:
(7.1.)
va dx u_xdt; dy  u_ydt; dz  u_zdt; u²  u_x²u_y²u_z² ligidan foydalanib,
(7.1.) tenglamaning chap tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

lekin

bo`lgani uchun (7.1) tenglama chap tomonining ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
(7.3)
(7.1) ning o’ng tomonidagi XdxYdyZdz biror kuch potentsialining to’liq difrentsialidir. Agar shu potentsialni F  (x, y, z), deb belgilasak, u holda quyidagiga ega bo`lamiz
Xdx + Ydy +Zdz = dF (7.4)
Odatda suyuqlikka ta’sir qiluvchi massa kuch og’irlik kuchidir.Bu holda Dekart kordinatalar sistemasida quyidagicha bo’ladi.
F  - g z (7.5.)
(7.1) tenglamaning o’ng tomonida yana bosim bilan ifodalangan munosabat bo’lib, u bosimning to’liq difrentsialini ifodalaydi, ya’ni
(7.6.)
(7.3), (7.4), (7.5) va (7.6) larni (7.1) tenglamaga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishga keladi

Hosil bo’lgan tenglamani oqimchaning 1–1 kesimidan (6.5-rasmga q.) 2–2 kesimigacha integrallasak, quyidagi tenglamani hosil qilamiz;
(7.7)
Bu tenglama Bernulli tomonidan olingan bo’lib, uning nomi bilan ataladi. Gidravlikada harakatning asosiy tenglamasi bo’lib xizmat qiladi. Bu tenglama ixtiyoriy ikkita kesim uchun olingan bo`lib, bu kesimlarning elementar oqimcha yo`nalishi bo`yicha qaerda olinishining ahamiyati yo`q. Shuning uchun Bernulli tenglamasini quyidagi ko`rinishda ham yozish mumkin:

Ko`rinib turibdiki, Bernulli tenglamasida asosan kattaliklarning yig`indisi o`zgarmas ekan. Shunday qilib, bu tenglama tezlik u, bosim p, zichlik  o`rtasidagi munosabatni ifodalaydi. D. Bernullining o`zi yuqoridagi tenglamani kinetik energiyaning o`zgarishi qonunidan keltirib chiqargan bo`lib, biz keltirgan usul esa Eyler tomonidan qo`llanilgan.