Fan: Biznes Matematika

Lagranj formulasi (chekli orttirmalar formulasi) — matematik analizning asosiy formulalaridan biri. 1797-yilda J. Lagranj topgan. Agar f(x) funksiya (a, ) intervalda differensiallanuvchi va [a, b] kesmada uzluksiz boʻlsa, Lagranj formulasikoʻrinishda yoziladi, bunda % soni a < % < b shartni qanoatlantiruvchi biror son.
Lagranj teoremasi. Agar  funksiya  kesmada uzluksiz va  da chekli  hosila mavjud bo‘lsa, u holda  da kamida bitta shunday c nuqta mavjud bo‘lib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot.  Quyidagi yordamchi funksiyani tuzib olamiz:

Bu funksiyani  kesmada uzluksiz va  da hosilaga ega bo‘lgan  va   funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida qarash mumkin. Bundan  funksiyaning  kesmada uzluksiz va  da hosilaga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek

demak  funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.
Demak, Roll teoremasiga ko‘ra  intervalda kamida bitta shunday  nuqta mavjud bo‘ladiki,  bo‘ladi.
Shunday qilib,

va bundan esa isbot qilinishi kerak bo‘lgan (1) formula kelib chiqadi. 
( 1) formulani ba’zida Lagranj formulasi deb ham yuritiladi. Bu formula

ko‘rinishda ham yoziladi.
Endi Lagranj teoremasining geometrik ma’nosiga to‘xtalamiz.  funksiya Lagranj teoremasining shartlarini 
qanoatlantirsin deylik (3-rasm). Funksiya grafigining  nuqtalar 3-rasm
orqali kesuvchi o‘tkazamiz, uning burchak koeffitsienti

bo‘ladi.
Hosilaning geometrik ma’nosiga binoan  - bu  funksiya grafigiga uning  nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti:  Demak, (1) formula  intervalda kamida bitta shunday  nuqta mavjudligini ko‘rsatadiki,  funksiya grafigiga  nuqtada o‘tkazilgan urinma kesuvchiga paralell bo‘ladi.
Isbot qilingan (1) formulani boshqacha ko‘rinishda ham yozish mumkin. Buning uchun  tengsizliklarni e’tiborga olib,  belgilash kiritamiz, u holda  bo‘lishi ravshan. Natijada (1) formula ushbu

ko‘rinishga keladi.
Agar (1) formulada  almashtirishlar bajarsak, u

bu yerda  , ko‘rinishga keladi. Bu formula argument orttirmasi bilan funksiya orttirmasini bog‘laydi, shu sababli (3) formula chekli orttirmalar formulasi deb ataladi.
Agar (1) Lagranj formulasida  deb olsak, Roll teoremasi kelib chiqadi, ya’ni Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi ekan.