|
26.7 To’lqin funksiyasi. Shredinger tenglamasi
Harakatlanayotgan mikrozarralarda to‘lqin xususiyatlar namoyon bo’lganligi
tufayli mikrodunyo hodisalarini tushuntirishda klassik fizika ojizlik qila boshlaydi.
Shuning uchun mikroob’ektlarning to‘lqin xususiyatlarini hisobga oladigan
mexanika, ya’ni to‘lqin mexanikasini yaratish zaruriyati tug’ildi. Bu vazifani
Shredinger, Geyzenberg, Dirak kabi olimlar tomonidan amalga oshirildi. Bu
mexanikada faqat mikroob’ektrlardagina aniq kuzatiladigan kvant tasavvurlar o’z
aksini topganligi uchun u, odatda, kvant mexanikasi deb ataladi.
Kvant mexanikasida mikrozarraning holati to‘lqin funksiya bilan aniqlanadi.
To‘lqin funksiya harfi bilan belgilanadi va «psi – funksiya» deb o’qiladi. Kvant
mexanikasida mikrozarraning holati klassik mexanikadagidek oldindan aniq aytib
berilmaydi, balki mikrozarraning u yoki bu holatini ehtimolligi aniqlanadi.
Shuning uchun to‘lqin funksiya deganda koordinata va vaqtga bog’liq bo’lgan
shunday matematik ifoda (x, y, z, t) tushunilishi kerakki, uning yordamida
mikrozarralarning fazodagi taqsimotini harakterlash mumkin bo’lsin. U holda
to‘lqin funksiyaning ko’rinishi shunday bo’lishi lozimki, uning modulining
kvadrati
2
mikrozarrani fazoning birlik hajmida qayd qilish ehtimolligiga teng
bo’lsin (xuddi yorug’lik vektori amplitudasining kvadrati E
m
2
fotonlar zichligini
ifodalagandek). Demak, fazoning biror nuqtasi atrofidagi dV hajmda mikrozarrani
qayd qilish ehtimolligi
2
dV ga teng. Xuddi shuningdek, mikrozarrani fazoda
(ya’ni fazoning qayeridadir) qayd qilish – muqarrar voqea bo’lganligi uchun uning
ehtimolligi birga teng, ya’ni
1
2dV (26.13)
bo’ladi. Bu ifoda to‘lqin funksiyalarni normalash sharti deyiladi. Bundan tashqari
to‘lqin funksiyaning fizik ma’nosidan kelib chiquvchi quyidagi shartlar ham
bajarilishi lozim:
a)
- funksiya chekli bo’lishi kerak, chunki mikrozarrani qayd qilish
ehtimolligi birdan katta bo’la olmaydi;
399
b)
- funksiya bir qiymatli bo’lishi kerak, chunki mikrozarrani fazoning
biror nuqtasida qayd qilish ehtimolligining qiymati bir nechta bo’lishi mumkin
emas;
v)
- funksiya uzluksiz bo’lishi kerak, chunki mikrozarrani qayd qilish
ehtimolligi sakrashsimon harakterda o’zgarmaydi;
- funksiyani 1926 yilda Shredinger tomonidan taklif etilgan va uning nomi
bilan ataladigan quyidagi tenglamani yechib topiladi:
дt
ih
U
дz
дy
m
h
д
д
д
дх
д
2
2
2
2
2
2
2
2
(26.14)
Bu tenglamada m – mikrozarraning massasi, U – mikrozarraning potensial
energiyasi, h – Plank doimiysi, i =
1
– mavhum birlik.
(26.14)
tenglamada
-funksiyadan vaqt bo’yicha olingan hosilali had
qatnashayotganligi uchun vaqt ishtirok etgan Shredinger tenglamasi deyiladi. Bu
tenglamada mikrozarraga ta’sir etayotgan kuchlar potensial funksiya U (x, y, z, t)
orqali aks ettirilgan, ya’ni mikrozarra potensial energiyasining qiymati fazoning
turli nuqtalaridagina emas, balki fazoning ayni nuqtasida ham vaqtning turli
onlarida turlichadir. Lekin mikrodunyoda sodir bo’layotgan aksariyat hodisalarda
mikrozarraning potensial energiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmaydi (statsionar
holatlar uchun). Bu holda
-funksiya ikkita kupaytuvchiga ajralib, biri faqat
koordinatalarga, ikkinchisi faqat vaqtga bog’liq bo’ladi:
(x, y, z, t) = (x, y, z) · (t). (26.15)
Natijada bir qator matematik amallardan so’ng (8) tenglamani quyidagi ko’rinishga
keltirish mumkin:
0
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
U
W
h
m
дz
д
ду
д
дх
д
(26.16)
Bu tenglamada W – mikrozarraning to’liq energiyasi. (26.16) ifoda vaqt ishtirok
etmagan (yoki statsionar holat uchun) Shredinger tenglamasidir. Bundan keyin
muhokama qilinadigan hollar statsionar holatlar bo’lgani uchun (26.16) ni,
oddiygina, Shredinger tenglamasi deb ataylik.
400
26.10-rasm
Shuni alohida qayd qilaylikki, Shredinger tenglamasi xuddi Nyuton
tenglamasi (F=ma) kabi ilgari ma’lum bo’lgan munosabatlardan foydalanib
chiqarilmaydi. U asosiy faraz sifatida qabo’l qilinadi. Lekin bu tenglamani
mikrodunyo ob’ektlariga qo’llash tufayli vujudga kelgan xulosalar tajriba natijalari
bilan juda mos keladi. Buni esa tenglamaning isboti deb qabo’l qilish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
