Eyler va Lagranj tenglamalari

2-misol. Ushbu

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamaning xususiy yechimini  ko’rinishda izlaymiz va berilgan tenglamadan

yoki

xarakteristik tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama  qo’shma kompleks ildizlarga ega bo’lgani uchun berilgan tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishga ega bo’ladi.

Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar orasida Lagranj tenglamasi deb nomlangan

 (4)
ko’rinishdagi tenglamalar ham uchraydi bu yerda  o’zgarmas sonlar. (4) Lagrang tenglamasida  erkli o’zgaruvchini
 (5)
tengliklar yordamida almashtirilsa o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Bir jinsli bo’lmagan Eyler tenglamasining o’ng tomoni  ko’phadning chekli sondagi arifmetik amallardan tashkil topgan  ifodasidan iborat
Xususiy yechimini esa  ko’rinishda izlaymiz va bu xususiy yechim  bo’lgani uchun almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamaning yechimi

bo’lib, (13) almashtirishga ko’ra berilgan tenglamaning yechimi

funksiyadan iborat bo’ladi.
6-misol. Quyidagi tenglamani yeching.

Yechilishi. (2) almashtirish bu tenglamani

tenglamaga o’tadi. Bu tenglama mos bir jinsli qismining xarakteristik tenglamasi

o’zaro qo’shma  kompleks ildizlarga ega bo’lgani uchun uning umumiy yechimi

ko’rinishga ega. Xususiy yechimini esa  ko’rinishda izlaymiz va bu xususiy yechim  bo’lgani uchun almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamaning yechimi

bo’lib, (2) almashtirishga ko’ra dastlabki tenglamaning yechimi

funksiyadan iborat.