Eyler va Lagranj tenglamalari

Eyler va Lagranj tenglamalari.
Eyler—Lagranj tenglamalari fizikaga aloqasi bo'lgan deyarli ham ­ ma hollarda nochiziqli differensial tenglamalar sistemasini tashkil qiladi. Bunday tenglamalarni integrallashning birdan bir usuli tenglamalarning (demak, sistemaning erkinlik darajasining) soniga teng bo'lgan harakat integrallarini topishdir. H ar bir harakat integrali bitta tenglamaning darajasini bittaga pasaytirib beradi, birinchi tartibli oddiy hosilali tenglamani esa, odatda, integrallash mumkin bo‘lib chiqadi.
Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar ham uchraydi.
 (1)
ko’rinishdagi tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi, bu yerda  o’zgarmas sonlar. Agar (1) tenglamada  ni  bilan almashtirsak tenglamaning ko’rinishi o’zgarmaydi. Demak, (1) tenglamada  erkli o’zgaruvchini
 (2)
almashtirish bilan kiritsak, u holda  ni  bilan almashtirishda tenglama o’zgarmaydi, ya’ni hosil bo’lgan yangi tenglama  ni oshkor ko’rinishda saqlamaydi. Erkli o’zgaruvchini almashtirishda tenglama chiziqli tenglamaga o’tmaganligi uchun, biz o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tasdiqni hisoblashlar vositasida bevosita tekshirishimiz mumkin. Biz  funksiyaning  bo’yicha hosilalarini (2) formula bo’yicha  bo’yicha hosilalari orqali ketma ket ifodalaymiz:

Biz ko’ramizki,  bo’yicha olingan birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni qatnashgan ifodalar mos ravishda  va  ko’paytuvchilarga ega. Faraz qilaylik  bo’yicha olingan  tartibli hosila

ko’rinishga ega bo’lsin, bu yerda  o’zgarmas sonlar. U holda 
bo’yicha olingan  tartibli hosila

ko’rinishga ega bo’ladi va yana qavs oldida  ko’paytuvchi , qavslar ichida esa  bo’yicha birinchi tartibli hosiladan boshlab  tartibli hosilagacha ifodalarning chiziqli kombinatsiyalari joylashgan. Demak ko’rsatilgan xossa ixtiyoriy  natural soni uchun isbotlandi. Biz hisoblangan hosilalarni (1) tenglamaga qo’ysak, har bir  uchun  ifodani  ko’paytirishlozim bo’ladi va shu bilan birga  ni o’zida saqlovchi ko’rsatkichli ko’paytuvchilar qisqaradi hamda o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.