Eyler almashtirishlari

EYLER ALMASHTIRISHLARI
Eyler va Lagranj tenglamalari.
Eyler—Lagranj tenglamalari fizikaga aloqasi bo'lgan deyarli ham ­ ma hollarda nochiziqli differensial tenglamalar sistemasini tashkil qiladi. Bunday tenglamalarni integrallashning birdan bir usuli tenglamalarning (demak, sistemaning erkinlik darajasining) soniga teng bo'lgan harakat integrallarini topishdir. H ar bir harakat integrali bitta tenglamaning darajasini bittaga pasaytirib beradi, birinchi tartibli oddiy hosilali tenglamani esa, odatda, integrallash mumkin bo‘lib chiqadi.
Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar ham uchraydi.
_{ } (12)
ko’rinishdagi tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi, bu yerda _{ } o’zgarmas sonlar. Agar (12) tenglamada _{ } ni _{ } bilan almashtirsak tenglamaning ko’rinishi o’zgarmaydi. Demak, (12) tenglamada _{ } erkli o’zgaruvchini
_{ } (13)
almashtirish bilan kiritsak, u holda _{ } ni _{ } bilan almashtirishda tenglama o’zgarmaydi, ya’ni hosil bo’lgan yangi tenglama _{ } ni oshkor ko’rinishda saqlamaydi. Erkli o’zgaruvchini almashtirishda tenglama chiziqli tenglamaga o’tmaganligi uchun, biz o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tasdiqni hisoblashlar vositasida bevosita tekshirishimiz mumkin. Biz _{ } funksiyaning _{ } bo’yicha hosilalarini (13) formula bo’yicha _{ } bo’yicha hosilalari orqali ketma ket ifodalaymiz:
_{ }
Biz ko’ramizki, _{ } bo’yicha olingan birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni qatnashgan ifodalar mos ravishda _{ } va _{ } ko’paytuvchilarga ega. Faraz qilaylik _{ } bo’yicha olingan _{ } tartibli hosila
_{ }
ko’rinishga ega bo’lsin, bu yerda _{ } o’zgarmas sonlar. U holda _{ }
bo’yicha olingan _{ } tartibli hosila
_{ }
ko’rinishga ega bo’ladi va yana qavs oldida _{ } ko’paytuvchi , qavslar ichida esa _{ } bo’yicha birinchi tartibli hosiladan boshlab _{ }tartibli hosilagacha ifodalarning chiziqli kombinatsiyalari joylashgan. Demak ko’rsatilgan xossa ixtiyoriy _{ } natural soni uchun isbotlandi. Biz hisoblangan hosilalarni (1) tenglamaga qo’ysak, har bir _{ } uchun _{ } ifodani _{ } ko’paytirishlozim bo’ladi va shu bilan birga _{ } ni o’zida saqlovchi ko’rsatkichli ko’paytuvchilar qisqaradi hamda o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.