Eyler va Eyler-Koshi usullari

Eyler va Eyler-Koshi usullari.
Adams interpolyatsion metodini ham birinchi tartibli oddiy diffe-rensial tenglamalar sistemasiga qo‘yilgan Koshi masalasini yechishda hech qanday qiyinchiliksiz qo‘llash mumkin.

Ko‘pincha hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun (7) va (15) formulalarda ishtirok etuvchi chekli ayirmalar fiinksiyaning qiymatlari orqali ifodasiga almashtiriladi va k ning berilgan qiymatlarida Adams ekstrapolyatsion hamda interpolyatsion formulalari mos ravishda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Yechimning x_n+l nuqtadagi qiymatini topishda undan farqli va bittadan ko‘p bo‘lgan nuqtadagi yechimning qiymatlari ishtirokida topiladigan metodlar ko p‘ qadamli metodlar deyiladi. Xususan, Adams metodlari ko‘p qadamh metodlardi.

Eyler va Eyler-Koshi usullari
Yuqoridagi (7) formulada k - 0 bo‘lgan holda hisoblash jarayoni

y n+i = yn + h f n

formula bilan tashkil etiladi. Buni Eyler taklif qilgan, shuning uchun

bunday hisoblash jarayoni Eyler metodi deb yuritiladi.
Eyler usulining quyidagicha modifikatsiyasi mavjud.
Avval quyidagi yaqinlashish


hisoblanadi, so‘ng

(17)

formula yordamida xn+i nuqtadagi yechimning taqribiy qiymati topil-adi. Bu yerda

17. 
    ifoda Eyler usulining modifikatsiyasidir.
    

Eyler-Koshining modifikatsiyalangan metodi quyidagicha aniq-lanadi.

A vval:

hisoblanadi, so‘ng x _n+1 nuqtadagi yechimning taqribiy qiymati

(18)

formula bilan aniqlanadi. Bu yerda

Agar (1), (2) masalaning taqribiy yechimini

deb, uni quyidagi

(19)
iteratsion jarayon bilan berilgan aniqlik miqdorida topilsa, (19) ifoda Eyler-Koshining iteratsion metodi deyiladi.