Eyler teoremasi va uning bir isboti D

Eyler teoremasi va uning bir isboti
D. Musurmonov

Teorema (Leonard Eyler 1747-yil): Har qanday uchburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalar markazi orasidagi masofa l uchun quyidagi tenglik o`rinli:
l<sup>2</sup> = R<sup>(</sup>R − 2r<sup>)</sup>
Isbot: Berilgan chizmaga ko`ra, ΔABC ga tashqi chizilgan aylana markazini O, ichki chizilgan aylana markazini O₁ deb belgilaymiz. U holda OO₁=l, OF=R, O₁K=r bo`ladi.
AC yoy BF bissektrisa yordamida 𝐹
nuqtada teng ikkiga bo`linadi:
A^̆F=F^̆C
AB yoy CL bissektrisa yordamida L
nuqtada teng ikkiga bo`linadi:
A^̆L=L^̆B

Bundan esa, L^̆AF=L^̆B+F^̆C
kelib

chiqadi. O₁CF burchak esa LB va FC yoylar yig`indisining yarmi bilan o`lchanadi va bundan ∠CO₁F=∠O₁CF ekani ma’lum bo`ladi. Demak, O<sub>1</sub>FC uchburchakning O<sub>1</sub>F va CF tomonlari o`zaro teng ekan.
Endi, qanday qilib O₁F²=2R⋅FM tenglik o`rinli ekanini tushunishga harakat qilamiz. Birinchidan, O<sub>1</sub>F=CF. ΔCMF ning to`g`ri burchakli uchburchakligidan
MC²=CF² − FM² (*)
Ikkinchidan, AM=MC hamda M nuqtada kesishuvchi AC va FH vatarlar xossasidan AM⋅MC=FM⋅MH. Bundan
MC² = FM⋅MH (**)
(*) va (**) tengliklarni birlashtirib, quyidagi ishlarni bajaramiz:
CF² − FM²=FM⋅MH CF² = FM⋅⁽FM+MH⁾ CF²=FM⋅FH

CF²=FM⋅2R O₁F²=2R⋅FM.
OO₁F uchburchakka ko`ra quyidagiga egamiz:

1
O₁F² = OO²+OF² − 2OF⋅ON 2R⋅FM = l²+R² − 2R⋅ON
2R⋅FM = l²+R² − 2R⁽OM − r⁾ l²+R² = 2R⁽FM+OM − r⁾
l²+R² = 2R⁽R − r⁾ l² = R² − 2Rr.
Teorema isbotlandi.