Eyler funksiyasi. Eyler va Ferma teoremalari

TA`RIF. Natural sonlar to`plamida aniqlangan 𝑓 funksiya uchun ⁽𝑚, 𝑛⁾ = 1 bo`lganda
𝑓⁽𝑚 ∙ 𝑛⁾ = 𝑓(𝑚) ∙ 𝑓(𝑛)

tenglik bajarilsa, u holda 𝑓 funksiya multiplikativ funksiya deyiladi.
TEOREMA. Eyler funksiyasi multiplikativ funksiyadir.
TEOREMA. Eyler funksiyasi multiplikativ funksiyadir.
ISBOTI. a va b o`zaro tub bo`lgan musbat butun sonlar bo`lsin. 𝑎 ∙ 𝑏 dan kichik bo`lgan barcha manfiymas sonlar to`plami M ni qaraylik. M dagi har bir sonni, qoldiqli bo`lish teoremasiga asosan, yagona tarzda
𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟 (𝑟 ∈ ^{0,1, … , 𝑏 − 1^}, 𝑞 ∈ ^{0,1,2, … , 𝑎 − 1^} )
ko’rinishda ifodalash mumkin.
𝑏𝑞 + 𝑟 son a bilan o`zaro tub bo`lishi uchun ⁽𝑏, 𝑟⁾ = 1 bo`lishi zarur va yetarli. Bunday 𝑟 sonlar soni 𝜑(𝑏) ta bo`ladi. 𝑟₁ −shunday sonlarning biri bo`lsin. U holda
𝑟<sub>1</sub>, 𝑏 + 𝑟<sub>1</sub>, 2𝑏 + 𝑟<sub>1</sub>, … , 𝑏<sup>(</sup>𝑎 − 1<sup>)</sup> + 𝑟<sub>1</sub>
sonlar ketma-ketligi a modul bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasini tashkil etadi. Shuning uchun, bu sonlar orasida a bilan o`zaro tub bo`lgan sonlar 𝜑(𝑎) ta bo`ladi. Shunday qilib, har bir 𝑟₁ songa (𝑏 bilan o`zaro tub bo`lgan) 𝑏𝑞 + 𝑟₁ ko`rinishdagi a bilan o`zaro tub sonlar va demak, ab bilan ham o`zaro tub bo`lgan
𝜑(𝑎) ta son mos keladi. Shuning uchun, ab bilan o`zaro tub bo`lgan sonlar soni
𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏), ya`ni

𝜑⁽𝑎𝑏⁾ = 𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏)

bo`ladi.


TEOREMA. Agar 𝑚 = 𝑝₁^𝛼1 ∙ 𝑝₂^𝛼2 ∙ … ∙ 𝑝_𝑛^𝛼𝑛 bo`lsa, u holda
𝜑⁽𝑚⁾ = 𝑚 (1 − ¹ ) (1 − ¹ ) ∙ … ∙ (1 − ¹ )

bo`ladi.
𝑝₁

𝑝₂
𝑝_𝑛