Ethan Frome

7.5. Биринчи тартибли чизиқли дифференциал тенглама


(1)
кўринишдаги тенгламага биринчи тартибли чизиқли дифференциал тенглама дейилади ( чунки номаълум функция у ва унинг ҳосиласи лар биринчи даражада яъни чизиқли қатнашган ).

1. 
   нинг ечимини (2) кўринишда излаймиз. лар ыозирча
   

номаълум функциялар.
(2) дан (3)
(2), (3) ларни (1) га қўйсак (4) ёрдамчи ўзгарувчи ни ихтиёрий танлаш мумкин бўлгани учун ни шундай танлаймизки натижада бўлсин, бу ҳолда десак (5)
(5) ни (4) га қўйсак ьавс нол бўлиб кетади ва (6)
(1) нинг умумий ечими бўлади.
Агар чизиқли тенгламамиз бир жинсли бўлса

Демак - умумий ечим.
(1) нинг умумий ечимини ўзгармасни вариациялаш (Лагранж усули) усули билан ҳам топиш мумкин. Бунинг учун биринчи бир жинсли тенгламанинг умумий ечими топилади
- бу ечимда С=С(х) деб фараз ьилиб, х бўйича ҳосила олсак:
ларни (1) га қўйсак:





интегралласак буни ўрнига қўйсак (1) нинг умумий ечими.
Мисол. 1.

Демак

2. ўзгарувчини вариациялаш усули билан ечинг.

С=С(х) десак буларни берилган тенгламага қўйсак


умумий ечим.


7.6. Бернулли тенгламаси


(1)
кўринишдаги тенгламага бўлган ҳолда Бернулли тенгламаси дейилади, акс ҳолда чизиқли ва ўзгарувчилари ажраладиган тенглама ҳосил бўлади.
(1) нинг ҳар иккала томонини га бўлсак
агар десак
бу чизиқли тенглама, уни биз биламиз.
Мисол.