Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

2.1 да скаляр кўпайтма
даги ихтиёрий иккита

векторлар учун қуйидаги скаляр кўпайтма бўлади

Худди шундай ҳақиқий сонлар тўплами устида фазосида скаляр кўпайтма қуйидагича аниқланади
Ҳар қандай функциялар учун

тенглик ўринли бўлади ва ҳар қандай , ва лар учун қуйидаги маълум хоссаларни қаноатлантиради

да норма, масофа ва скаляр кўпайтма қуйидагича боғланган:
. (2.14)
скаляр кўпайтма ёрдамида ушбу модель масала учун

биз кучсиз формани қуйидагича

ҳамда минималлаштириш формасини қуйидагидек ёзишимиз мумкин:

2.2 да Коши-Шварц тенгсизлиги
Ушбу нормали Гилберт фазоси учун Коши-Шварц тенгсизлиги
(2.15)
кўринишга эга. даги ва учун фазоларидаги скаляр кўпайтмаларга мос Коши-Шаврц тенгсизликларига мисоллар:




бунда V бу Ω нинг ҳажми.



2.2.1 Коши -Шварц тенгсизлигининг исботи
Ушбу ни эътиборга олиб, берилган u ва v ларда бўйича квадратик формани қурамиз:

Квадратик функция манфиймас, демак квадратик форманинг дискриминанти учун қуйидаги ўринли
яъни
бу ўз навбатида икки томонидан квадрат илдиз чиқарилса , Коши- Шварц тенгсизлигини беради.
Тўла банах фазоси унда аниқланган скаляр кўпайтма билан биргаликда Гилберт фазоси дейилади. Демак, L² (Ω) бу Гилберт фазоси (чизиқли фазо, скаляр кўпайтма, тўла).
2.2.2 Фазолар орасида муносабатлар
Аниқ фазолар иэрархиясида муносабатлар (ва мос қўшимча хоссалар) ни қуйидагича қисқача схематик баён қилиш мумкин:
Метрик фазо (масофа) => Нормаланган фазо (норма) => Банах фазо (тўла) => Гилберт фазо (скаляр кўпайтма).