Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

3.2 Соболев фазосининг таърифи
Соболевнинг фазоси
(2.22)
каби аниқланади ва биринчи тартибли ҳосилани ўз ичига олади, масалан,

ҳамда икки ўлчовлида фазо қуйдаги каби аниқланади



Умумий m ўлчовли Соболев фазосига тўғридан-тўғри кенгайтириш қуйдагини беради
(2.23)
3.3 фазоларда скаляр кўпайтма
Ушбу фазода скаляр кўпайтма худди дагидек қуйидагича

Ушбу фазода скаляр кўпайтма

каби аниқланади, икки ўзгарувчили скаляр кўпайтма да қуйидагича аниқланади

ва (умумий ўлчовда) скаляр кўпайтма

га тенг. Ушбу (умумий ўлчовда) норма қуйдагига тенг

демак, бу Гилберт фазоси. Норма скаляр кўпайтмадан аниқланиши мумкин, масалан, фазода норма

га тенг. да (умумий ўлчовда) масофа
(3.26)
каби аниқланади.
3.4 ва фазолари орасидаги боғлиқлик, Соболевнинг жойлашиш теоремалари
Бир ўлчовли фазоларда биз қуйидагига эга бўламиз

Теорема 3.5. Соболевнинг жойлашиш теоремаси: агар бўлса, у ҳолда
(3.27)
бунда - Соболев фазоси элементларининг озод ўзгарувчилар ўлчови.
Мисол 3.6. 2D-фазода . Ушбу шарт эканини билдиради. Жойлашиш теоремасидан қуйидагига эга bo`lamiz
(3.28)
Агар бўлса, бу va ларнинг барчаси га тегишли эканини билдиради, у ҳолда узлуксиз, лекин va узлуксиз бўлмаслиги мумкин!
Мисол 3.7. Уч ўлчовли фазоларда , ҳамда шарт ни билдиради, энг яқин бутун сон иккига тенг, бу ҳам 2D даги натижаларга олиб келади:
(3.29)

3. 
   Ечимнинг регулярлиги деганда биз ёки фазода ечимлар синфи силлиқлик даражасини тушунамиз. Шундай қилиб, ёки учун қанчалик катта бўлса функция силлиқлиги шунча катта булади.