Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz

O’zgaruvchilarnialmashtirishformulasi.

4 – xossa. Agar funksiya oraliqda, funksiya da qat’iyo’suvchivauzluksizdifferensiallanuchibo’lib ,

bo’lsa, u holdaquyidagio’zgaruvchilarnialmashtirishformulasio’rinli.

Bu formulabutengliklarningaqallibittasimavjudbo’lgandao’rinli.

5. 
   Tengsizliklarniintegrallash.
   

5 – xossa.Agar

integrallaryaqinlashuvchibo’lib, tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda

tengsizliko’rinli.
Isbot. tengsizlik

tengsizlikdan da limitga o’tish orqali kelib chiqadi.
Manfiybo’lmaganfunksiyalardanolinganxosmasintegrallar.
1 – Teorema. Agar bo’lsa, u holda

xosmasintegralningyaqinlashuvchibo’lishiuchun

funksiyaningyuqoridanchagaralanganbo’lishizarurvayetarli, ya’ni

munosabatningbajarilishizarurvayetarli.
Isbot.Osonlikbilankorishmumkinki – funksiyao’suvchibo’ladi. Haqiqatdan ham (1) shartdanvaRimanintegraliningxossalaridan

ya’ni ekanligini olamiz.
Agar
xosmas integralyaqinlashuvchibo’lsa, ya’ni

mavjudbo’lsa, u holdamonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra

bo’ladi.Bu yerdanmonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra


bo’ladi, ya’ni (2) shartbajariladi.
Aksincha (2) shartbajarilsa, u holdamonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra (F – o’suvchifunksiya ) chekli

limitimavjudbo’ladi, ya’ni

xosmas integralyaqinlashuvchibo’ladi.
2 – Teorema. (Taqqoslashteoremasi ). Agar

tengsizlikbajarilsa, u holda

1. 
   integralning yaqinlashuvchiligidan integralning yaqinlashuvchiligikelibchiqadi.
   
2. 
   – ninguzoqlashuvchiligidan ninguzoqlashuvchiligikelibchiqadi.
   

Isbot.a) (3) shartdanRimanintegraliningtengsizliklargabog’liqxossalaridan

kelibchiqadi. Agar integral yaqinlashuvchibo’lsa, ya’ni

mavjudbo’lsa, u holda

Demak, manfiybo’lmagan funksiyauchun (2) shartbajariladiva 1 – teoremagako’ra - integral yaqinlashuvchibo’ladi.
b) Agar – uzoqlashuvchibo’lsa, ham uzoqlashuvchibo’lishikerak. Aksholda, ya’ni – integralningyaqinlashuvchiligidan ningyaqinlashuvchiligiyuqoridaisbotlanganigako’rakelibchiqaredi.
Natija.Agar

shartabajarilib

bo’lsa, u holda va integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot (5) va (6) shartlarbajarilganda

tengsizlikbajariladi. Bu yerda deb olsak, shunday topilib,
tengsizlikkelibchiqadi. (7) dan (5) nihosobgaolib,

tengsizlikkelibchiqadi. (Bu yerda ni shunday tanlaymizki bo’lsin). va funksiyalarning oraliqda maxsus nuqtalari yo’qligi sababliularningshuoraliqdayaqinlashuvchibo’lishiuchunularning oraliqdayaqinlashuvchibo’lishizarurvayetarlidir.
Agar – integral yaqinlashuvchibo’lsa, – integral ham yaqinlashuvchibo’ladi. Bundan 2 – teoremagako’ra – integralning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Hamda – ning uzoqlashuvchiligidan – ning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.