Elementar hodisalar fazosi va hodisalar algebrasi

1.2.1-misol. A, B va C - ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D = {uchchala hodisa ro’y berdi}; E = {bu hodisalarning kamida bittasi ro’y berdi}; F = {bu hodisalarning birortasi ham ro’y bermadi}; G = {bu hodisalarning faqat bittasi ro’y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: ; ; .
Demak hodisalarni to’plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash				To’plamlar nazariyasidagi	Ehtimollar nazariyasidagi talqini
				Talqini
				Fazo (asosiy to’plam)	Elementar hodisalar fazosi,
					muqarrar hodisa
				fazo elementlari	 elementar hodisa
A,	A 			A to’plam	A hodisa
AB, A B				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar yig’indisi ( A
				yig’indisi, birlashmasi	va B ning kamida biri ro’y
					berishidan iborat hodisa)
AB, AB				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar ko’paytmasi
				Kesishmasi	( A va B ning birgalikda ro’y
					berishidan iborat hodisa)
A\B,A-B				A to’plamdan	A hodisadan B hodisaning
				B to’plamning ayirmasi	ayirmasi( A ning ro’y berishi,
					B ning ro’y bermasligidan iborat
					hodisa)
				Bo’sh to’plam	Mumkin bo’lmagan hodisa
				A to’plamga to’ldiruvchi	A hodisaga teskari hodisa( A
		A
					ning ro’y bermasligidan iborat)
AB ,				A va B to’plamlar	A va B hodisalar birgalikda
AB				Kesishmaydi	Emas
A  B				A to’plam B ning qismi	A hodisa B ni ergashtiradi
A = B				A va B to’plamlar ustma-	A va B hodisalar teng kuchli
				ust tushadi

Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega;

• 
  ,
  
• 
  
  
• 
  , ;
  
• 
  , ;
  
• 
  , , , ;
  
• 
  , ,
  
• 
  , , ;
  
• 
  
  
• 
  va - De Morgan prinsipi.
  

1.2.2 - misol.
a) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
Demak, ekan .
b) ABAAB formulani isbotlang.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.

Natijasi tasodifiy bo’lgan biror tajriba o’tkazilayotgan bo’lsin. -tajriba natijasida ro’y berishi mumkin bo’lgan barcha elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi esa elementar hodisa deyiladi.
Agar chekli yoki sanoqli to’plam bo’lsa (ya’ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo’lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to’plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A  .
to’plamdagi A qism to’plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to’plam muqarrar hodisa deyiladi. -bo’sh to’plam mumkin bo’lmagan hodisa deyiladi.
S- ning qism to’plamlaridan tashkil topgan sistema bo’lsin.
Agar chekli yoki sanoqli to’plam bo’lsa (ya’ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo’lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to’plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A  . .
to’plamdagi A qism to’plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to’plam muqarrar hodisa deyiladi. -bo’sh to’plam mumkin bo’lmagan hodisa deyiladi.
S- ning qism to’plamlaridan tashkil topgan sistema bo’lsin.
Agar

1. 
   , ;
   
2. 
   munosabatdan kelib chiqsa;
   
3. 
   va munosabatdan , kelib chiqsa S sistema algebra tashkil etadi deyiladi.
   
4. 
   Ta’kidlash joizki, , ekanligidan 3 shartdagi va munosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.
   

1.3.1-misol. sistema algebra tashkil etadi:
Agar 3 shart o’rniga quyidagilarni talab qilsak munosabatdan kelib chiqsa S Sistema algebra deyiladi.Agar chekli yoki sanoqli bo’lsa, - to’plamning barcha qism to’plamlaridan tashkil topgan hodisalar sistemasi algebra tashkil etadi.


2 EHTIMOLLIKNING ASOSIY AKSIOMALARI
A hodisa n ta bog’liqsiz tajribalarda marta ro’y bersin. soni A hodisaning chastotasi, munosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi n deyiladi.
Nisbiy chastotaning statistik turg’unlik xossasi deb ataluvchi xossasi mavjud, ya‘ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi ma‘lum qonuniyatga ega bo’ladi va biror son atrofida tebranib turadi.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga A={Gerb} tomoni bilan tushishi hodisasini qaraylik. Byuffon va K.Pirsonlar tomonidan o’tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jadvalda keltirilgan:

Tajriba	Tajribalar soni, n	Tushgan gerblar	Nisbiy chastota,
o’tkazuvchi		soni,
Byuffon	4040	2048	0.5080
K.Pirson	12000	6019	0.5016
K.Pirson	24000	12012	0.5005

Jadvaldan ko’rinadiki, n ortgani sari nisbiy chastota ga yaqinlashar ekan.

Agar tajribalar soni etarlicha ko’p bo’lsa va shu tajribalarda biror A hodisaning nisbiy chastotasi biror o’zgarmas son atrofida tebransa, bu songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi.
A hodisaning ehtimolligi simvol bilan belgilanadi. Demak, yoki yetarlicha katta lar uchun .
Statistik ehtimollikning kamcxiligi shundan iboratki, bu yerda statistik ehtimollik yagona emas. Masalan, tanga tashlash tajribasida ehtimollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni ham olishimiz mumkin. Ehtimollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar o’tkazishni talab qiladi, bu esa amaliyotda ko’p vaqt va xarajatlarni talab qiladi.
Statistik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   P()1;
   
4. 
   bo’lsa, u holda
   

Isbot. 1) Ixtiyoriy A hodisaning chastotasi uchun .
Yetarlicha katta n lar uchun bo’lgani uchun bo’ladi.

2. 
   Mumkin bo’lmagan hodisa uchun n_A=0.
   
3. 
   Muqarrar hodisaning chastotasi n_A=n.
   
4. 
   Agar ABbo’lsa, u holda n_ABn_An_B va .
   

Ehtimolning “klassik” ta’rifida sinashning elementar natijalari soni chekli deb faraz qilinadi. Amalyotda esa mumkin bo;lgan natijalari soni cheksiz bo’lgan sinashlar ancha ko’p uchrab turadi. Bunday hollarda klasssik ta’rifini qo’llab bo’lmaydi.Shu xolning o’zi xam klassik ta’rifini cheklanganligini ko’rsatadi. To’g’ri, bu kamcxilikni ehtimol ta’rifini tegishlicha umumlashtirish yo’li bilan bartaraf qilish mumkin.
Klassik ta’rifining eng bo’sh tomoni shundaki ko’pincha sinash natijasini elementar xodisalar to’plami sifatida tasvirlab bo’lmaydi. Elementar xodisalarni teng imkoniyatli deb xisoblashga asos bo’la oladigan shartlarni ko’rsatish esa undan ham qiyin. Odatda elementar natijalarning teng imkoniyatliligi haqida simmetriyaga asoslanib xulosa chiqariladi. Masalan, soqqa tashlashda bunday hol soqqamuntazam ko’p yoqli (kub) bo’lganda bo’ladi. Ammo simmetriklilik mulohazalariga asoslanish mumkin bo'lgan masalalar amaliyotda juda kam uchraydi. Shu sababli klassik ta’rif bilan bir qatorda ҳodisaning ehtimoli sifatida nisbiy chastota yoki unga yaqin sonni olib, statistik ta’rifdan ham foydalaniladi. Masalan, agar yetarlicha katta sondagi sinashlar natijasida nisbiy chastota 0,4 songa juda yaqinligi aniqlangan bo'lsa, u holda bu sonni hodisaning ehtimoli sifatida olish mumkin.
chekli n ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo’lsin.
A hodisaning ehtimolligi deb, A hodisaga qulaylik yaratuvchi elementar hodisalar soni k ning tajribadagi barcha elementar hodisalar soni n ga nisbatiga aytiladi.
(2.1.1)
Klassik ta‘rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba’zi elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo’shish va ko’paytirish qoidasi deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud.
va chekli to’plamlar berilgan bo’lsin.
Qo’shish qoidasi: A va B hodisalarning yig’indisi A+B deb, A hodisa yoki B hodisaning, yo bu ikkala hodisaning ham ro’y berishidan iborat hodisaga aytiladi. Masalan, to’pdan ikkita snaryad otilgan bo’lib, A birinchi otishda nishonga tegish, B ikkinchi otishda nishonga tegish hodisalari bo’lsa, u holda A+B birinchi otishda yoki ikkinchi otishda yoki ikkala otishda ham nishonga tegish hodisasi bo’ladi.
Jumladan, agar A va B hodisalar birgalikda bo’lmasa, u holda A+B shu hodisalardan qaysinisi bo’lsa ham, birining ro’y berishidan iborat hodisa bo’ladi.
Bir nechta hodisalarning yig’indisi deb, bu hodisalardan kamida birining ro’y berishidan iborat bo’lgan hodisaga aytiladi. Masalan, A+B+C hodisa quyidagi hodisalardan birining ro’y berishidan iborat: A, B, C, A va B, A va C, B va C, ham A, ham B, ham C.
Faraz qilaylik A va B hodisalar birgalikda bo’lmasin va ularning ehtimollari berilgan bo’lsin. Yo A hodisa, yoki B xodisa ro’y berish ehtimolini qanday topish mumkin? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.