Электронлар ва ковакларнинг энергиялар быйича та=симоти

Ярим ўтказгичларда зоналар назарияси.

Режа:

1. 
   Ярим ўтказгичлар учун Шреденгер тенгламаси.
   
2. 
   Адиабатик яқинлашиш методи.
   
3. 
   Валент аппроксимация методи.
   
4. 
   Бир электронли яқинлашиш методи.
   
5. 
   Хулоса
   

Ярим ўтказгичларда зарраларнинг энергетик спектри ва координаталарини топиш учун Шреденгер тенгламасини ечиш керак. Стационар ҳолат учун Шреденгер тенгламаси қуйидагича кўринишга эга:

бу ерда -Гамильтон оператори, Е-хусусий энергия, -тўлқин функция.
Гамильтон оператори 5 та ҳаднинг йиғиндисидан иборат:

бу ерда: -Электронларнинг кинетик энергия оператори.
-Ядроларнинг кинетик энергия оператори.
-Электронларнинг потенциал энергия оператори.
- Ядроларнинг потенциал энергия оператори.
-Электронлар ва ядроларнинг ўзаро таъсир потенциал
энергия оператори.
Тўлқин функцияси ва Гамильтон оператори ҳадлари зарраларнинг координатасига боғлиқ бўлади, яъни:

шунинг учун Шреденгер тенгламасида жуда кўп, чексиз ўзгарувчилар мавжуд, шу сабабли бу тенглама ечимга эга эмас. Чунки тенглама битта, ўзгарувчилар эса бу тенгламада чексиз кўп. Бизга маълумки битта тенгламада битта ўзгарувчи бўлса бундай тенгламани ечса бўлади.
Шреденгер тенгламасини ечиш учун ундаги ўзгарувчилар сонини камайтириш лозим. Бунинг учун эса яқинлашиш методларидан фойдаланилади.
Биринчи қўлланиладиган яқинлашиш методи-адиабатик яқинлашиш методи деб аталади. Бу усулнинг физик моҳияти қуйидагича: Барча атомлар электронлар ва ядролардан тузилган.
Улар учун: . Шундан келиб чиқиб атомлардаги ядролар электронларга нисбатан тинч турибди деб қаралади. Бу ушбу адиабатик методнинг асосий шартидир. У ҳолда шартга асосан ядроларнинг кинетик энергия оператори нолга тенг бўлади, яъни ва . Ядроларнинг потенциал энергия оператори фақат битта ўзгармас қийматга эга бўлиб қолади, яъни . Энергия ҳисоби бошини ўзгартириб ни ҳам нолга тенгласа бўлади.
Демак у ҳолда Шреденгер тенгламаси қуйидаги кўринишга келади:

Лекин бу ҳолда ҳам тенгламада жуда кўп ўзгарувчилар бор. Улар электронларнинг координаталаридир. Энди шу ўзгарувчилар сонини ҳам камайтириш зарур, акс ҳолда бундай тенгламани ечиб бўлмайди. Бунинг учун валент аппроксимация усули қўлланилади. Бу усулнинг моҳияти қуйидагича. Атомлардаги барча ички орбиталардаги электронлар ядро билан биргаликда тинч турибди ва фақат валент электрон қобиғидаги (яъни энг ташқаридаги орбитадаги) электронлар ҳаракат қилаяпди деб қабул қилинади. Бу ҳолда фақат валент электронларнинг координаталари ўзгарувчи бўлади. демак Шреденгер тенгламаси да фақат валент электронлар координаталари ўзгарувчи бўлади. лекин кристалл панжарадаги атомларда чексиз кўп валент электронлар мавжуддир. Шунинг учун ҳам Шреденгер тенгламасини валент апприксимация методи билан ҳам ечиб бўлмайди, лекин ечимга анча яқинлашиш имконияти ҳосил бўлди. Ечимни топиш (ечиш) учун бир электронли яқинлашиш методи қўлланилади. Унга асосан кристалл панжарадаги барча электронлар умумлашган майдонни ҳосил қилади. Бу майдонни ҳосил қилишда барча электронлар қатнашади ва ўзлари ҳам шу майдонда ҳаракат қиладилар. Шунинг учун бу майдон ўзаро келишилган майдон деб аталади. Бу ҳолда Шреденгер тенгламасини ҳар бир электрон учун алоҳида-алоҳида ёзса бўлади:

Демак Шреденгер тенгламаси ўрнида ана шундай тенгламалар системасига эга бўламиз.

Бу ҳолда тенгламалар ва ундаги ўзгарувчилар сони ўзаро тенг бўлади.

Тенгламалар ва ундаги ўзгарувчилар сони ўзаро тенг бўлса, бундай тенгламалар системасини ечса бўлади.

Унинг ечими Блох функцияси кўринишида бўлади:
Демак кристалл панжара учун Шреденгер тенгламасининг ечими Блох функциясидир. Электронларнинг энергетик спектри рухсат берилган ва рухсат берилмаган зоналардан иборатдир. Ана шундан рухсат берилган ва тақиқланган зоналар мавжудлиги аниқ бўлади. уларнинг график кўриниши қуйидагича:

Энергия қиймати ошиб бориши билан рухсат берилган зона кенглиги ошиб боради, тақиқланган зона кенглиги эса камаяди.
Каттиқ жисмлар электр ўтказувчанлигига кўра уч гурухга бўлинади:

1. 
   Ўтказгичлар (металлар)
   
2. 
   Ярим ўтказгичла
   
3. 
   Диэлектриклар
   

Ярим ўтказгичларда эркин заряд ташувчилар 2 хил бўлади:

1. 
   Эркин электронлар
   
2. 
   Мусбат тешикчалар (коваклар)