Экстремумы функций Содержание

4.Экстремумы функций трех переменных.
4.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x⁰,y⁰,z⁰) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x⁰- ,x⁰+ , y⁰- ,y⁰+ ,z⁰- ,z⁰+ )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x,y,z)0,y⁰,z⁰)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x⁰,y⁰,z⁰) выполнялось строгое неравенство
f(x,y,z)0,y⁰,z⁰)
(>)
то говорят, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
f_x’(x⁰,y⁰,z⁰), f_y’(x⁰,y⁰,z⁰) ,f_z’(x⁰,y⁰,z⁰)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y⁰,z= z⁰ сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
v=f(x, y⁰,z⁰)
Так как мы предположили, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x⁰- ,x⁰+ ) точки x=x⁰, необходимо должно выполняться неравенство
f(x, y⁰,z⁰)0,y⁰,z⁰)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
f_x’(x⁰,y⁰,z⁰)=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
f_x’(x,y,z)=0
f_y’(x,y,z)=0 (4.2)
f_z’(x,y,z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.