Экстремумы функций Содержание

6.5.Достаточные условия для точек условного экстремума.
В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть
F= f₀+ _if_i
-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f₀ и уравнений связи(6.3).Пусть x⁽⁰⁾ G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой функции Лагаранжа , т.е. точкой , координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3). Нашей целью является получение метода , с помощью которого можно установить условия , достаточные для того , чтобы x⁽⁰⁾ являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.
Заметим прежде всего , что если точка x G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) , то
f= f(x)-f(x⁽⁰⁾)=F(x)-F(x⁽⁰⁾)= F (6.32)
Отсюда сразу видно , что если x⁽⁰⁾ является точкой обычного экстремума для функции F, т.е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾, то x⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума для функции f₀ .
Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что приращение f₀ для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач.Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума .
Пусть x⁽⁰⁾= (x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) удовлетворяет уравнениям связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции g(x)=g(x_m+1,…,x_n) , получаемой из f₀(x)= f₀(x₁,x₂,…,x_n) при условии , что являются x₁,x₂,…,x_m функциями переменных x_m+1,…,x_n определяемых уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾.Будем дополнительно предполагать , что f₀(x ) и f_i(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x⁽⁰⁾.
Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x⁽⁰⁾ является точкой условного (строгого) экстремума для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3) тогда и только тогда , когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому , если например , в точке x⁽⁰⁾ функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция f₀(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (6.3).Достаточные условия для обычного сторого экстремума были получены нами ранее .Для нашего случая они имееют вид :

1. 
   g(x⁽⁰⁾ )
   

x_i i=m+1,…,n; (6.33)
2)второй дифферециал
²g(x⁽⁰⁾ )
d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_idx_j (6.34)
x_i x_j
является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.
При выполнении этих условий x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x).В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы x⁽⁰⁾ являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции f₀(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для практического использования , так как требуют знания функции g(x).Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уоавнений связи.
Прежде всего заметим , что в силу условия (6.4) система (6.29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx₁,…,dx_m при произвольно фиксированных dx_m+1,…,dx_n .Систему (6.29), выражающую равенство нулю дифференциалов функции f_i(x) в точке x⁽⁰⁾:
d f_i(x)=0, i=1,2,…,m
при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :
df=0 (6.35)
где
f=(f₁,f₂,…,f_m)
Пусть x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x).Это означает, что dF(x⁽⁰⁾)=0, т.е. что в этой точке f₀+ _if_i=0.В теореме 2 показано, что в том случае x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции, т.е.
dg(x⁽⁰⁾)=0 (6.36)
Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что
d²g(x⁽⁰⁾ )= d²F(x⁽⁰⁾ ) _df=0 (6.37)
Это равенство следует понимать как равенство функции n-m переменных dx_m+1,…,dx_n.В правой части равенства (6.37) остальные переменные dx₁,…,dx_m, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что равносильно (см. формулы (6.5))
dx_k=d _k(x₁,x₂,…,x_n-m), k=1,2,…,m
Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем
f₀ (x⁽⁰⁾ )
dg(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_j
x_j
Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные _i, входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на постоянную _i).Тогда, использовав условие (6.11), получим
F(x⁽⁰⁾)
dg(x⁽⁰⁾ )= -------[ f₀ (x )+ _if_i (x)] dx_j = --------- dx_j=0
x_j x=x₀ x_j
Утверждение (6.36) доказано.
Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом.Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x⁽⁰⁾:
²f₀(x⁽⁰⁾ ) f₀(x⁽⁰⁾ )
d²g(x⁽⁰⁾ )= ---------dx_jdx_k + ----------- d²x_j (6.38)
x_j x_k x_j
Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь в точке x⁽⁰⁾ :
²f₀(x⁽⁰⁾ ) f₀(x⁽⁰⁾ )
d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_jdx_k + ----------- d²x_j =0 (6.39)
x_j x_k x_j
i=1,2,…,n
Умножив i–е равенство (6.39) на постоянную _i, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6.38) ; тогда получим
²F(x⁽⁰⁾ ) F(x⁽⁰⁾ )
d²g(x⁽⁰⁾ )= -----------dx_jdx_k + ----------- d²x_j (6.38)
x_j x_k x_j
где dx_i, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку x⁽⁰⁾ точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37) доказана.
Будем говорить, что квадратичная форма d²F(x⁽⁰⁾ ) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_i, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dx_i, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dx_i)²>0 выполняется неравенство d²F(x⁽⁰⁾ ) >0 (соответственно d²F(x⁽⁰⁾ ) <0)
Пусть точка x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует, что x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x⁽⁰⁾ является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx_m+1,…,dx_n, и, следовательно, функция имеет в точке x⁽⁰⁾ строгий минимум (максимум) , а значит, функция f₀(x) имеет в точке x⁽⁰⁾ условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6.3).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 6.3: Если x⁽⁰⁾ удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x⁽⁰⁾ является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6.3).
Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dx_i, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выплнении.