Экстремумы функций Содержание

3.3.Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x₀) R, определенная в окрестности U(x₀) точки х₀, имеем в х₀ производные до порядка n включительно (n>1).
Если f’(x₀)=…=f ^(n-1)(x₀)=0 и f⁽ⁿ⁾(x₀)=0 , то при n нечетном в х₀ экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f⁽ⁿ⁾(x₀)>0 , и строгий локальный максимум, если f ⁽ⁿ⁾(x₀).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ+ (x)(x-x₀)ⁿ (3.2)
где (x) 0 при x x₀,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x₀)=(f⁽ⁿ⁾(x₀)+ (x))(x-x₀)ⁿ (3.3)
Поскольку f⁽ⁿ⁾(x₀)=0,а (x) 0 при x x₀, сумма имеет знак fⁿ(x₀),когда х достаточно близок к х₀. Если n нечетно, то при переходе через х₀ скобка (х-х₀)ⁿ меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x₀)ⁿ>0 при x=x₀ и,следовательно, а малой окрестности точки х₀ знак разности f(x)-f(x₀), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f⁽ⁿ⁾(x₀) :

• 
  пусть f⁽ⁿ⁾(x₀),тогда в окрестности точки х₀ f(x)>f(x₀), т. е. в точке х₀ – локальный минимум;
  
• 
  пусть f⁽ⁿ⁾(x₀)>0,тогда f(x)>f(x₀) ,т. е. в точке х₀ локальный минимум. ч.т.д.