Эконометрика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Р. С. Саркисян

закон (ряд)
рас
-
пределения: 
всякое соотношение(функция), устанавливающее связь между возмож
-
ными значениями СВ и соответствующими им вероятностями (их возможного появ
-
ления).
Для дискретной СВ закон распределения может быть задан в виде таблицы, ана-
литически и графически. Возможные (т.е. могут наблюдаться на исходе ) значения СВ 
принято записывать в таблице 
строго по порядку возрастания
. Например,
Таблица 2.1 
Закон распределения дискретной СВ, 
x
i
x
i
x
2
…
x
i
…
x
n
p
1
p
1
p
i
…
p
i
…
p
n
Для любой дискретной СВ (2.11)
так как в результате испытания обязательно (достоверно) появится то или иное 
(одно и только одно) значение СВ из всевозможных значении.
Если по оси абсцисс откладывать значения СВ, по оси ординат – соответствующие 
их вероятности, то получаемая (соединением точек) ломаная называется 
полигоном 
распределения вероятностей
.
Важными числовыми характеристиками (числа, которые описывают СВ суммар-
но) СВ являются 
математическое ожидание 
и 
дисперсия.
Математическим ожиданием 
дискретной
СВ называют сумму произведений 
всех ее возможных значений на их вероятности:

(2.12)
Если дискретная СВ Х принимает счетное множество значений, то
(2.13)

---

26
Эконометрика: Учебное пособие
причем, мат. ожидание существует, если ряд в правой части (т.е сумма) абсолютно 
сходится. Мат. ожидание приближенно равно среднему значению 
X
СВ (тем точнее, 
чем больше число испытаний): при решений многих задач, не зная соответствующие 
вероятности появления значений СВ, вероятности берут равными (при большом числе 
значений СВ их считают приблизительно равновозможными). Для решения многих за-
дач достаточно знать лишь мат. ожидание. Например, если известно, что мат. ожидание 
числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок
в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше вто-
рого.
Свойства математической ожидании: 
1. 
M
(
C
)=
C∙1=C
мат. ожидание постоянной величины есть само постоянное,
2. 
M
(
CX
)=
CM
(
X
)
постоянный множитель выносится за знак мат. ожидания,
3. 
M
(
X+Y
)=
M
(
X
)+
M
(
Y
)
, (верно и для нескольких СВ)
4. 
M
(
XY
)=
M
(
X
)
M
(
Y
)
мат. ожидание произведения двух 
независимых
СВ равно про-
изведению их мат. ожиданий (верно и для нескольких взаимно независимых СВ).
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность 
появления события А постоянна и равна 
p
. Биномиальная СВ Х это число появлении А 
в серии 
n
независимых испытании. Тогда мат. ожидание (приблизительно среднее чис-
ло) числа появлений события А в серии этих испытаний равно:
M(X)=np

(2.14)

Доказательство
. Число 
X
появления события 
A
в 
n
независимых испытаниях 
складывается из числа появлений события в отдельных испытаниях: 
X
=
X
1
+
X
2
+∙∙∙+X
n
, 
где X
1
- число появлений события в 
i
-ом испытании. По третьему свойству имеем:
M(X)=M(X
1
)+M(X
i
)+
∙∙∙
+m(X
n
)
, где каждое слагаемое есть мат. ожидание числа появле-
ний события в одном испытании и, следовательно, равно вероятности события 
p
. Скла-
дывая, получаем (2.14).