Эконометрика-2

РЭШ, 2004/05
Эконометрика 2
Экзамен
24 апреля 2005 г.
Первая часть

Продолжительность первой части экзамена 1 час 30 мин.

Задача 1 (30 баллов)
Рассматривается Logit-модель , где  бинарная переменная (принимающая значения 0 или 1). Ниже даны результаты 90 наблюдений:

		y
		0	1
x	0	20	24
	1	26	20

а) Оцените параметры .
б) Проверьте гипотезу Н₀: с помощью теста отношения правдоподобия.
в) Проверьте гипотезу Н₀: с помощью теста Вальда.
г) Проверьте гипотезу Н₀: с помощью теста множителей Лагранжа.
Совпадают ли результаты тестов б), в) и г)?

Решение

а) Обозначим . Обозначим также .
В силу свойства инвариантности оценок максимального правдоподобия достаточно найти , тогда . Логарифмическая функция правдоподобия равна
. Уравнения правдоподобия:
.
Учитывая равенство и проводя элементарные вычисления, получаем для оценок параметров уравнения:
,
откуда .

б) Для модели без ограничения в силу а) имеем . Для модели с ограничением получаем: ,откуда, как и следовало ожидать, получаем , и . Поэтому . Используя распределение , получаем Рзначение 0.29, что позволяет не отвергать гипотезу Н₀ на любом разумном уровне значимости.

в) Для проверки той же гипотезы с помощью теста Вальда достаточно вычислить статистику , где  стандартная ошибка оценки (модель без ограничения). Из теории оценок максимального правдоподобия следует, что в качестве асимптотической матрицы ковариаций MLоценки параметра можно взять матрицу , вычисленную в точке . Прямыми вычислениями получаем, что , где . Заметим, что эта матрица неслучайна, поэтому брать среднее значение не нужно. Поэтому , где . Прямыми вычислениями получаем . Таким образом, и . Получили практически то же значение, что и LR. Гипотеза не отвергается.
г) Как известно, , где , а (см. п. б)). Прямыми вычислениями получаем . Используя результат п. в), получаем , где , откуда . Таким образом, LR = 1.102. Вновь гипотеза не отвергается.
Таким образом, все три теста дают один и тот же результат.