Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

P { A ) = ' £ P ( H , ) P ( A / H l ) =
t-1

n t i n i 152 n - 1 1 228 1 2739 n ,

0,21 +0,3 — +0.5.5 = 5 +15;5+- = — , 0,67.
Endi biz to ia ehtimollik formulasidan foydalanib, Bayes for­
mulasini keltirib chiqaramiz. A va Hx, H2, H„ hodisalar para-graf boshidagi shartlami qanoatlantirsin. Agar A hodisa ro‘y ber-sa, u holda Hm gipotezaning shartli ehtimolligi quyidagi Bayes formulasidan topiladi:
P ( H m/A) '

23. 
    P(Hj) P(A/Hj)
    

i=i
bu yerda m=\,2,...,n.
Bu formulani quyidagi shartli ehtimollik ta ’rifidan keltirib chiqarish mumkin:
D t U / A \ _ m A )
Bog‘liq hodisalar uchun ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasi-dan foydalanib oxirgi kasming suratini quyidagicha yozishimiz mumkin:
P ( H m/ A ) = P ( H m) P ( A / H m).
Bu kasming maxrajidagi A hodisaning P{A) ehtimolligi to‘la ehtimollik formulasiga asosan

38

P(A) = Y J P(Hi ) P ( A / H i ).
1=1
P(ffk) (k=\,2,...,n) ehtimolliklar aprior (sinovdan oldingi) ehli-molliklar, P(Hk/A) (k=l,2,...,n) — aposterior (sinovdan keyingi) ehtimolliklar deyiladi.
3-masala. Uchta mergan nishonga bittadan o‘q uzadi. Birin­ chi mergantiing o‘qi nishonga 0,6 ehtimollik bilan, ikkinchi mer-ganning o‘qi nishonga 0,8 ehtimollik bilan, uchinchi merganning o‘qi esa 0,3 ehtimollik bilan tegadi. Uchala mergan o‘q uzgandan so‘ng nishonga ikkita o‘q tekkanligi ma’lum bo£lsa, birinchi mer­ ganning o‘qi nishonga tegish ehtimolligini toping.
Yechish. Tajriba otkazishdan oldin quyidagi gipotezalarni qo‘-yamiz.

Hx — {birinchi mergan otgan o‘q nishonga tegadi};

H2 —{birinchi mergan otgan o'q nishonga tegmadi}.
Bu gipotezalarning ehtimolliklari
P(Hj = 0,6, P(ff2) = 1 - 0,6 = 0,4.
A hodisa quyidagicha boMadi:
A = {uchta otilgan o‘qdan ikkitasi nishonga tegdi}.

Bu hodisani Hx va H2 gipotezalar ostidagi shartli ehtimollik-larini topamiz. Hx hodisa ro‘y berganda qolgan ikkita mergan ichidan faqat bittasining o'qi nishonga tegadi. Shuning uchun

PiA/Hy) = 0,8 • 0,7 + 0,2 • 0,3 = 0,72. Tushunarliki, P(A/H2) shartli ehtimollik 0,8 • 0,3 ko'paytmaga,
ya’ni 0,24 ga teng.
Endi so‘ralgan P(HJA) ehtimollikni Bayes formulasi bo'yicha topamiz:

p ( f f