Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.
№
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
3,2
|
4,0
|
12,80
|
10,24
|
16,00
|
4,06
|
3,67
|
2
|
3,0
|
3,8
|
11,40
|
9,00
|
14,44
|
4,08
|
3,56
|
3
|
3,10
|
3,5
|
10,85
|
9,61
|
12,25
|
4,07
|
3,40
|
4
|
2,8
|
3,0
|
8,40
|
7,84
|
9,00
|
4,10
|
3,14
|
5
|
3,4
|
4,4
|
14,96
|
11,56
|
19,36
|
4,03
|
3,88
|
6
|
3,8
|
4,2
|
15,96
|
14,44
|
17,64
|
3,98
|
3,78
|
7
|
4,0
|
4,6
|
18,40
|
16,00
|
21,26
|
3,96
|
3,99
|
8
|
3,5
|
4,5
|
15,75
|
12,25
|
20,25
|
4,02
|
3,94
|
9
|
3,9
|
3,1
|
12,09
|
15,21
|
9,61
|
3,97
|
3,19
|
10
|
4,5
|
4,1
|
18,45
|
20,25
|
16,81
|
3,9
|
2,72
|
11
|
4,6
|
4,8
|
22,08
|
21,26
|
23,04
|
3,89
|
4,09
|
12
|
4,2
|
4,0
|
16,80
|
17,64
|
16,00
|
3,93
|
3,67
|
|
44
|
48
|
177,94
|
145,05
|
195,66
|
48
|
44
|
Chiziqli regressiya
Korrelyatsion bog‘liqlik ta’rifini aniqlashtiramiz, buning uchun shartli о‘rtacha qiymat tushunchasini kiritamiz.
Shartli о‘rtacha qiymat deb, Y tasodifiy miqdorning X=x qiymatiga mos qiymatlarining arifmetik о‘rtacha qiymatiga aytiladi.
Masalan, X miqdorning x1=2 qiymatiga Y miqdorning y1=3, y2=5, y3=6, y4=10 qiymatlari mos kelsin. U holda, shartli о‘rtacha qiymat
ga teng.
Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi deb, x shartli о‘rtacha qiymatning
x ga funksional bog‘liqligiga aytiladi:
(15.1)
X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi:
(15.2)
(15.1) va (15.2) tengliklar mos ravishda Y ning X ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi.
f(x) va funksiyalar- regressiya funksiyalari, ularning grafiklari esa regressiya chizig‘i deyiladi.
Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri korrelyatsion bog‘lanish shaklini aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi kо‘rinishini (chiziqli, kvadratik, kо‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya funksiyalari kо‘p hollarda chiziqli bо‘ladi. Ikkinchi masala korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni aniqlash.
Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi Y ning qiymatlarini x shartli о‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bо‘yicha baholanadi: kо‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yо‘qligidan darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini kо‘rsatadi. X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.
Y va X son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bо‘lsin. Eng sodda holni qaraymiz. X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgan bо‘lsin:
-
xi
|
x1
|
x2
|
…
|
xn
|
yi
|
y1
|
y2
|
…
|
yn
|
Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli о‘rtacha qiymatdan foydalanishga ehtiyoj yо‘q. Regressiya tenglamasini
(15.3)
ko’rinishda izlaymiz, bu yerda, - Y ning X ga nisbatan regressiya koeffitsiyenti deyiladi.
Eslatma.X ning Y ga nisbatan regressiya tо‘g‘ri chizig‘ining tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda X ning Y ga regressiya koeffitsiyenti.
1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.
Kutilgan ballar
|
3,2
|
3,0
|
3,10
|
2,8
|
3,4
|
3,8
|
4,0
|
3,7
|
2,9
|
4,5
|
4,6
|
4,2
|
Olingan ballar
|
4,0
|
3,8
|
3,5
|
3,0
|
4,4
|
4,2
|
4,6
|
4,5
|
3,1
|
4,1
|
4,8
|
4,0
|
Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.
Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.
№
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
3,2
|
4,0
|
12,80
|
10,24
|
16,00
|
4,06
|
3,67
|
2
|
3,0
|
3,8
|
11,40
|
9,00
|
14,44
|
4,08
|
3,56
|
3
|
3,10
|
3,5
|
10,85
|
9,61
|
12,25
|
4,07
|
3,40
|
4
|
2,8
|
3,0
|
8,40
|
7,84
|
9,00
|
4,10
|
3,14
|
5
|
3,4
|
4,4
|
14,96
|
11,56
|
19,36
|
4,03
|
3,88
|
6
|
3,8
|
4,2
|
15,96
|
14,44
|
17,64
|
3,98
|
3,78
|
7
|
4,0
|
4,6
|
18,40
|
16,00
|
21,26
|
3,96
|
3,99
|
8
|
3,5
|
4,5
|
15,75
|
12,25
|
20,25
|
4,02
|
3,94
|
9
|
3,9
|
3,1
|
12,09
|
15,21
|
9,61
|
3,97
|
3,19
|
10
|
4,5
|
4,1
|
18,45
|
20,25
|
16,81
|
3,9
|
2,72
|
11
|
4,6
|
4,8
|
22,08
|
21,26
|
23,04
|
3,89
|
4,09
|
12
|
4,2
|
4,0
|
16,80
|
17,64
|
16,00
|
3,93
|
3,67
|
|
44
|
48
|
177,94
|
145,05
|
195,66
|
48
|
44
|
Shunday qilib, =-0,12x+4,44.
15-Mavzu. Boshqa regressiya tanlanmalari. Parabola, ko’rsatkichli va darajali, giperbolik funksiya
Agar regressiya tenglamasi egri chiziq bilan tasvirlansa korrelyatsiya egri chiziqli deyiladi. Masalan, Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamalari quyidagi kо‘rinishlarda bо‘lishi mumkin.
(ikkinchi tartibli parabolik)
(uchinchi tartibli parabolik)
(giperbolik)
(kо‘rsatkichli)
Eng sodda egri chiziqli korrelyatsiya – parabolik korrelyatsiyadir:
(15.10)
X va Y son belgilar orasidagi bog‘lanish korrelyatsion jadval bilan berilgan bо‘lsin. Chiziqli korrelyatsiya bо‘lgan holdagi kabi (15.10) regressiya tenglamasining parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida topamiz va no’malum a, b, c parametrlarga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(15.11)
bu yerda,
Sistemadan topilgan a, b, c parametrlar (15.10) tenglamaga qо‘yiladi va natijada izlanayotgan regressiya tenglamasi hosil qilinadi.
3-misol Ushbu kuzatish
-
X
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
Y
|
5
|
-1
|
-0,5
|
1,5
|
4,5
|
8,5
|
ma’lumotlari bо‘yicha Y ning X ga regressiya egri chizig‘i tenglamasini toping.
Yechish. Tenglamani (14.10) parabolik kо‘rinishda izlaymiz. Quyidagi hisoblashlar jadvalini tuzamiz.
T/r
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0
|
5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
2
|
-1
|
4
|
-2
|
8
|
16
|
-4
|
3
|
4
|
-0,5
|
16
|
-2
|
64
|
256
|
-8
|
4
|
6
|
1,5
|
36
|
9
|
216
|
1296
|
54
|
5
|
8
|
4,5
|
64
|
36
|
512
|
4096
|
288
|
6
|
10
|
8,5
|
100
|
85
|
1000
|
10000
|
850
|
JAMI
|
30
|
18
|
220
|
126
|
1800
|
15664
|
1180
|
Jadvaldan foydalanib, (15.11) tenglamalar sistemasini yozamiz:
Soddalashtiramiz:
Sistemadan c parametrni yо‘qotamiz:
Sistemani yechamiz:
, ,
Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi
4-misol. Y hosildorlik (1 gektarga s hisobida)ni yerning haydash chuqurligi X (sm) ga bog‘liqligi jadval yordamida berilgan.
-
X/Y
|
10
|
12
|
14
|
16
|
nx
|
0
|
4
|
1
|
-
|
-
|
5
|
10
|
-
|
2
|
3
|
2
|
7
|
20
|
-
|
1
|
4
|
4
|
9
|
30
|
-
|
2
|
2
|
3
|
7
|
40
|
-
|
2
|
3
|
1
|
6
|
50
|
2
|
2
|
2
|
-
|
6
|
ny
|
6
|
10
|
14
|
10
|
40
|
Hosildorlik va haydov chuqurligi bog‘liqligi kо‘rinishini aniqlang va regressiya tenglamasini tuzing.
Yechish. Avvalo, Y ning xi ni qiymatlariga mos (guruhli о‘rtacha) qiymatlarini topamiz.
,
Kо‘rinib turibdiki, guruhli о‘rtacha qiymatlar dastlab о‘sib sо‘ngra kamayadi. Bu esa Y va X lar orasida parabolik korrelyatsion bog‘liqlik borligidan dalolat beradi.Regressiya tenglamasini (15.10) kо‘rinishda izlaymiz va (15.11) normal tenglamalar sistemasini yozamiz. Buning uchun quyidagi yordamchi jadval tuzamiz:
T/r
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0
|
5
|
10,4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
52
|
0
|
0
|
2
|
10
|
7
|
14
|
70
|
700
|
7000
|
70000
|
98
|
980
|
9800
|
3
|
20
|
9
|
|
180
|
3600
|
72000
|
144000
|
132
|
2640
|
52800
|
4
|
30
|
7
|
|
210
|
6300
|
189000
|
5670000
|
100
|
3000
|
90000
|
5
|
40
|
6
|
|
240
|
9600
|
384000
|
15360000
|
82
|
3280
|
131200
|
6
|
50
|
6
|
12
|
300
|
15000
|
750000
|
37500000
|
72
|
3600
|
180000
|
|
|
40
|
|
1000
|
35200
|
1402000
|
60040000
|
536
|
13500
|
463800
|
Natijada quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
yoki
Sistemani yechib,
larni topamiz.
Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi
16-Mavzu. Boshqa regressiya tanlanmalari. Parabola, ko’rsatkichli va darajali, giperbolik funksiya
Do'stlaringiz bilan baham: |