“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

8-Занятие. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности :
.
Если случайная величина принимает четное множество возможных значений, то .
Свойства математического ожидания:

1. 
   Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: MC=C.
   
2. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
   

М(СХ)=С МХ.

3. 
   Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+Y)=MX+MY .
   
4. 
   Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХY)=МХ МY.
   

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг среднего значения служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения: .
Для дискретной случайной величины дисперсия определяется как:

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. 
   Дисперсия постоянной величины равна нулю: DC=0.
   
2. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(СХ)=С ² DХ.
   
3. 
   Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсией ожиданий слагаемых: D(Х+Y)=DX+DY
   

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .


Решение типовых примеров:
Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение: Находим математическое ожидание случайной величины Х и ее квадрата:


Отсюда, по формуле дисперсии находим:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно:
.
Ответ: .