Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

2.MARKOV ZANJIRI

Bog’liq tajribalar ketma-ketligi. Markovning diskret zanjiri

Hozirga qadar biz o’zaro bog’liq bo’lmagan tajribalar bilan ish ko’rgan edik. Endi esa bog’liq tajribalar ketma-ketligining sodda holi bilan tanishaylik. Mumkin bo’lgan natijalari chekli yoki sanoqli to’plamdan iborat bo’lgan S tajribani qaraylik. Bu tajribani ketma-ket takrorlaylik va orqali n-tajriba natijasini belgilaylik. Umuman olganda ning ehtimoli oldingi (n-1) ta tajriba natijasida qanday hodisalar ro’y berganiga bog’liqdir. Agar ning ehtimoli (n-1)-tajriba natijasi gagina bog’liq bo’lib, avvalgi (n-2) ta tajribada qanday hodisalar ro’y berganiga bog’liq bo’lmasa, bunday tajribalar ketma-ketligi Markov zanjiri tashkil etadi deyiladi.
Markov zanjiri aniq ta’rifini quyidagi hol uchun beramiz: butun qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini olamiz. Agar n-tajribada hodisa ro’y bersa, deb hisoblaymiz. Agar

shart bajarilsa, ketma-ketlik Markov zanjiri deyiladi.
Markov zanjirini boshqacha talqin etish ham mumkin: haqiqatan ham, mumkin bo’lgan holatlari to’plami dan iborat bo’lgan biror fizik sistema berilgan bo’lib, ning boshlang’ich taqsimoti

berilgan va vaqtning butun qiymatli momentlarida (onlarida) sistema o’z holatini o’zgartirsin. Shu bilan birga sistemening vaqtning n-momentida holatda bo’lish ehtimoli, oldingi momentlarning barchasida sistema qanday holatda bo’lganligi ma’lum bo’lsa ham, ularga bog’liq bo’lmasdan, faqatgina vaqtning (n-1)-momentida sistema qaysi holatda bo’lganiga bog’liq bo’lsin. Bunday bog’liqlik Markov zanjiridir.
Misol. Zarracha [a,b] da harakatlansin. Bu zarracha vaqtning momentlarida tasodifiy turtki ta’sirida bir qadam o’nga yoki chapga, mos ravishda, p, q=1-p ehtimol bilan siljishi mumkin. Zarrachaning o’z o’rnida qolish ehtimoli esa nolga teng bo’lsin.
2.1.1-chizma(Zarrachaning [a,b] da harakatlanishi)

Agar zarracha a nuqtada bo’lsa, turtki natijasida bir ehtimol bilan o’ngga, b nuqtada bo’lsa, bir ehtimol bilan chapga siljisin. Zarrachaning bayon etilgan qonun bo’yicha harakati Markov zanjiriga misol bo’la oladi.

Endi ehtimolni qaraylik. Bu ehtimol sistemaning m-tajribada holatda bo’lib, n-tajribada holatga o’tish ehtimoli deb o’qiladi.
Markov zanjirida holatlar chekli, shuningdek, cheksiz bo’lishi mumkin. Biz holatlari soni chekli bo’lgan holni qaraymiz. Ushbu

matritsa o’tish ehtimollari matritsasi deyiladi. Bu matritsaning tartibi Markov zanjirining holatlar soni s ga teng bo’ladi.
Markov teoremasi. Agar bo’lsa, u holda o’tish ehtimollari matritsasi bilan aniqlanuvchi Markov zanjiri uchun ushbu munosabat o’rinlidir:

Bu tenglama ba’za Markov tenglamasi ham deyiladi
Isboti. Sistemaning m-tajribada holatda bo’lib, n-tajribada holatda bo’lish hodisasini orqali belgilaymiz. U holda ushbu tenglik o’rinli:

Haqiqatan ham, bu tenglikning o’rinli ekanligiga quyidagi sxemaga qarab ishonch hosil qilish mumkin:

Sxemadan ko’rinib turibdiki, bu yig’indidagi qo’shiluvchilarning istalgan ikkitasi birgalikda ro’y bermaydi. U holda

bo’ladi. Sistema markov zanjirini tashkil etgani uchun holatdan holatga o’tish hodisasi sistema holatga qaysi holatdan o’tganiga bog’liq emas,ya’ni hodisa hodisaga bog’liq emas. Shuning uchun

U holda

Bu esa matritsalarni ko’paytirish qoidasiga ko’ra

demakdir. Agar deb olinsa, u holda (1) dan

ga bir qadamda o’tish ehtimollari matritsasi deyiladi.
Bundan foydalanilsa,

xususiy holda esa

formulaga ega bo’lamiz.
Har bir qadamda o’tish ehtimollari berilgan bo’lsa, Markov zanjiri berilgan deyiladi.
Agar desak,

matritsa hosil bo’ladi. Bu bir qadamda o’tishlar matritsasi bo’lib, umuman olganda k o’zgarishi bilan P(k) o’zgaradi, ya’ni P(k) tajriba nomeriga bog’liqdir. Agar o’tish ehtimollari tajriba nomeriga bog’liq bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, bunday zanjir bir jinsli Markov zanjiri deyiladi. Demak, bir jinsli Markov zanjirining bir qadamda o’tish ehtimollari matritsasi

ko’rinishda bo’lar ekan. Bundan va (2.1.2) dan bir jinsli Markov zanjiri uchun m-tajtibada holatda bo’lib, n-tajribada holatga o’tish ehtimollari matritsa

bo’lishligi kelib chiqadi.
Demak, bir jinsli Markov zanjirini berish uchun bir qadamda o’tish ehtimollari matritsasini berish yetarli ekan. 1-misoldagi “daydi zarracha” harakat qonuni bir jinsli markov zanjiriga misol bo’ladi. Bu misolda bir qadamda o’tish ehtimollarining matritsasi

ko’rinishga ega. Zarrachaning holatdan ga 10 ta turtki natijasida (10 qadamdan so’ng) o’tish ehtimolini topmoqchi bo’lsak, ni hisoblab, so’ng uning 2-satr, 5-ustunidagi elementni olish kifoya.
O’tish matritsasi quyidagi xossalarga ega: